Ανάπτυξη μαθηματικών και υπολογιστικών μοντέλων για τη μελέτη συνθέτων και θερμοηλεκτρικών υλικών-δομών

Abstract

In the first chapter there is an introduction to the thermoelectric phenomenon where the necessary concepts for the evaluation of thermoelectric materials are presented and the problem is analyzed on a micro and macro scale. In the second chapter, the thermoelectric effect at the continuum level is presented. The differential equations governing the phenomenon are given and then the finite element methodology and relative equations are described. In the following, some very basic concepts of artificial neural networks are presented and the modern literature and state-of-the-art for both the thermoelectric phenomenon and the modeling of thermoelectric electrical devices are reviewed. In the third chapter, one out of a total of four thermoelectric generators is modeled - devices which are based on carbon fibers and have all been manufactured in the Composite and Smart Materials Laboratory (CSML) of the Materials Science Engineering Department (MSED) and are exact copies of them, with aim to study their thermoelectric efficiency. It has been studied in terms of design features in order to maximize its electrical and power efficiency. In addition, a parametric analysis of the device is conducted for various design parameters such as the thermal conductivity of the resin, the length of the thermocouples etc. and the performance is adjusted in relation to the design parameters with the help of neural networks. In the fourth chapter, three devices (also manufactured in CSML) based on semiconducting inks on glass fibers were simulated and their thermoelectric performance was studied. In the fifth chapter, the basic theoretical background of percolation theory is presented, i.e. mesh percolation, continuum percolation, and the techniques used mostly in modern literature are presented. The methods for calculating the thermal-electrical properties of a random composite at the microstructure level are also analyzed. In chapter six, a new theoretical model and its computational implementation in two dimensions (2D) for the study of continuum percolation phenomena is presented. The aim was the development of a model which has inherent similarity with lattice percolation. The physical medium is simulated as an (infinite) grid comprising of representative surface elements (RSEs). Assuming medium's homogeneity the RSEs average propagation probability can be interpreted and generalized as the occupation probability for the infinite medium. The RSE's resulting from a Monte Carlo iterative process involving the creation of the relative small samples and their propagation ability checked individually from their top to bottom. The propagation in the actual physical medium takes place when the calculated probability (p) is higher than the critical propagation probability (0.5927). The proposed method treats the low dimensional material system as a 2D infinite homogenized medium which can be further reduced leading to a mapping on a square lattice with site occupation. The proposed numerical algorithm considers the particles in the RSE as digitized using sites-pixels without contacts. Following the digitization procedure, traditional computational methods like Depth First Search are involved for the detection of possible propagation paths in the randomly selected square samples. For the confirmation of the theoretical model as well as the algorithm, problems known from the literature were used and it was found that regardless of microstructure at the critical concentration the percolation probability on the RSE converges to the anticipated 0.5927 value. In addition, the results obtained from the proposed methodology compare very well with available predictions in the literature. New results are reported covering a wide range of particle geometrical types (circular, elliptical, rectangular) and surface fractions in matrix-filler or matrix-fillers systems proving the robustness and applicability of the proposed methodology. In the seventh chapter, for the first time, the electrical-thermal conductivity of a composite random material is correlated with the number of conductive paths, the mean path length and the mean effective path width measured in a representative surface element (RSE) by Monte Carlo sampling. This work is organized in two parts. The theoretical calculation takes place in the first part for the correlation of conductive paths by adopting three approaches (incremental with respect to accuracy and complexity) based on: i) one-component straight paths, ii) multi-component straight paths and iii) multi - component non-straight paths. In the second part, a novel numerical methodology for the calculation of the conductance of the RSE through the conductive paths, mean path length and the mean effective path is developed for the general model of multi-component non-straight line paths based on Ohm's law. In addition, a methodology that reduces the calculated properties from the microscale to the macroscale is proposed, that takes into account the probability of percolation for finite sizes and the average value of the property from the samples in which percolation occurs. After the necessary consistency steps and verification of the method and its implementation on random binary material systems, it is further applied to solve synthetic continuous percolation problems at microscale and macroscale. The results and the accuracy of calculations are in close agreement with existing models. The computational speed and memory requirements of the newly proposed methodology are advantageous when compared to boundary value problem methods such as Finite Elements (FE) - Differences (FD) and Resistor Networks technique. The electrical (DC) and thermal conductivity follow the same scaling relation and the proposed methodology can be calculated at the same stage without additional cost. In a random binary medium the simulations showed that a scaling law is followed with an exponent value very close to 1.3. In addition, the number of conductive paths, the average length of the paths, and the effective width follow scaling laws with exponents 1.44 , -0.25 and -0.39, respectively. Finally, the eighth chapter presents the conclusions as well as possible directions for future research.

Στην παρούσα εργασία μελετάται αρχικά το θερμοηλεκτρικό φαινόμενο και στην συνέχεια αναπτύσσονται αριθμητικές μέθοδοι - μοντέλα για τον υπολογισμό θερμικών - ηλεκτρικών αγωγιμοτήτων συνθέτων υλικών αφού επιλυθεί το πρόβλημα της διήθησης σε τυχαίο υλικό. Αναλυτικά, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή του θερμοηλεκτρικού φαινομένου όπου παρουσιάζονται οι απαραίτητες έννοιες για την αξιολόγηση των θερμοηλεκτρικών υλικών και αναλύεται το πρόβλημα σε μικρο κλίμακα και μακροκλίμακα. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάται εν περιλήψει το θερμοηλεκτρικό φαινόμενο σε επίπεδο συνεχούς, παρουσιάζονται οι διαφορικές εξισώσεις που διέπουν το φαινόμενο και στην συνέχεια περιγράφονται οι εξισώσεις σε στα πεπερασμένα στοιχεία. Στην συνέχεια παρουσιάζονται κάποιες πολύ βασικές έννοιες των τεχνητών νευρωνικών δικτύων και γίνεται ανασκόπηση της σύγχρονης βιβλιογραφίας και τεχνολογιών αιχμής τόσο για το θερμοηλεκτρικό φαινόμενο και την μοντελοποίηση θερμοηλεκτρικών ηλεκτρικών συσκευών. Στο τρίτο κεφάλαιο μοντελοποιείται μία (1) εκ των τεσσάρων συνολικά θερμοηλεκτρικές γεννήτριες - συσκευές η οποία είναι βασισμένη σε ίνες άνθρακα και έχουν κατασκευαστεί όλες στο εργαστήριο Μηχανικής Συνθέτων και Ευφυών Υλικών του Τμήματος Μηχανικών Επιστήμης των Υλικών (ΤΜΕΥ) είναι ακριβή αντίγραφα τους, με στόχο να μελετηθεί η θερμοηλεκτρική τους απόδοση. Μελετήθηκε ως προς τα χαρακτηριστικά σχεδιασμού προκειμένου να μεγιστοποιηθεί η απόδοσή της ηλεκτρική και ισχύς. Στην συνέχεια του κεφαλαίου αναλύεται μεθοδολογία παραμετρικής ανάλυσης της συσκευής όπου το η προσομοίωση της συσκευής επιλύεται για διάφορες παραμέτρους σχεδιασμού όπως η θερμική αγωγιμότητα της ρητίνης, το μήκος των θερμοστοιχείων κ.α και γίνεται προσαρμογή της απόδοσης σε σχέση με τις παραμέτρους σχεδιασμού με την βοήθεια νευρωνικών δικτύων. Στο τέταρτο κεφάλαιο επιλύονται άλλες τρεις (3) συσκευές οι οποίες βασίζονται σε ημιαγώγιμα μελάνια σε υάλους που επίσης είχαν κατασκευαστεί στο εργαστήριο Μηχανικής Συνθέτων και Ευφυών Υλικών του ΤΜΕΥ είναι ακριβή αντίγραφα τους και μελετήθηκε η θερμοηλεκτρική τους απόδοση. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το βασικό θεωρητικό υπόβαθρο της θεωρίας διήθησης δηλαδή διήθηση πλέγματος, διήθηση συνεχούς και παρουσιάζονται οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται επί το πλείστον στην σύγχρονη βιβλιογραφία. Επίσης αναλύονται οι μέθοδοι για τον υπολογισμό θερμικών - ηλεκτρικών ιδιοτήτων ενός τυχαίου σύνθετου σε επίπεδο μικροδομής. Στο έκτο κεφάλαιο κατασκευάζεται ένα νέο θεωρητικό μοντέλο καθώς και η υπολογιστική του υλοποίηση σε δύο διαστάσεις (2D) και χρησιμοποιείται για τη μελέτη φαινομένων διήθησης συνεχούς σε μικρο και μακροκλίμακα. Το μοντέλο μακροκλίμακας έχει εγγενή ομοιότητα με τη διήθηση πλέγματος. Το φυσικό μέσο δηλαδή προσομοιώνεται ως ένα (άπειρο) πλέγμα που αποτελείται από αντιπροσωπευτικό επιφανειακά στοιχεία RSEs. Υποθέτοντας την ομοιογένεια του μέσου, η μέση διάδοση των RSEs που υπολογίζεται ώς πιθανότητα διήθησης της μικροδομής μπορεί να ερμηνευθεί και να γενικευτεί ως η πιθανότητα κατοχής για το άπειρο μέσο. Οι RSE προκύπτουν από μια επαναληπτική διαδικασία Monte Carlo που περιλαμβάνει τη δημιουργία των σχετικά μικρών δειγμάτων και η διάδοσής τους ελέγχεται μεμονωμένα από την κορυφή προς τα κάτω. Η διάδοση στο πραγματικό φυσικό μέσο λαμβάνει χώρα όταν η υπολογισμένη πιθανότητα p είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη 0.5927. Η προτεινόμενη μέθοδος αντιμετωπίζει το σύνθετο υλικό σε επίπεδο μακρoδομής ως (2D) άπειρο ομογενοποιημένο μέσο το οποίο έχει προκύψει από το επίπεδο της μικροδομής χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο πλέγμα με κατάληψη τοποθεσίας. Ο προτεινόμενος αριθμητικός αλγόριθμος εξετάζει τα σωματίδια στο RSE όπως ψηφιοποιήθηκαν χρησιμοποιώντας τοποθεσίες - pixel χωρίς επαφές. Σε συνέχεια της διαδικασίας ψηφιοποίησης, παραδοσιακές υπολογιστικές μέθοδοι όπως η Depth First Search χρησιμοποιούνται στην ανίχνευση πιθανών μονοπατιών διάδοσης στο τυχαία επιλεγμένα τετράγωνα δείγματα. Για την επιβεβαίωση του θεωρητικού μοντέλου καθώς και του αλγορίθμου, χρησιμοποιήθηκαν γνωστά προβλήματα από τη βιβλιογραφία και διαπιστώθηκε ότι ανεξαρτήτως μικροδομής στην κρίσιμη συγκέντρωση η μέση πιθανότητα διήθησης στο RSE συγκλίνει στην αναμενόμενη τιμή 0.5927. Επιπλέον, τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την προτεινόμενη μεθοδολογία είναι πολύ κοντά με τις διαθέσιμες προβλέψεις στη βιβλιογραφία. Νέα αποτελέσματα αναφέρονται όπου καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα γεωμετρικών τύπων σωματιδίων (κυκλικά, ελλειπτικά,ορθογώνια) και επιφανειακά κλάσματα σε συστήματα πλήρωσης μήτρας που αποδεικνύουν την ευρωστία και τη γενικότητα της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Στο έβδομο κεφάλαιο γίνεται μια προσπάθεια συσχέτισης της ηλεκτρικής - θερμικής αγωγιμότητας ενός σύνθετου τυχαίου υλικού με τον αριθμό των αγώγιμων μονοπατιών που μετρήθηκαν σε ένα αντιπροσωπευτικό στοιχείο επιφάνειας (RSE) με δειγματοληψία Monte Carlo. Αρχικά αναπτύσσεται ο θεωρητικός υπολογισμός για τη συσχέτιση των αγώγιμων μονοπατιών με τις ιδιότητες υιοθετώντας τρεις προσεγγίσεις αυξανόμενης ακρίβειας και πολυπλοκότητας: ευθύγραμμες διαδρομές ενός συστατικού, τεθλασμένες διαδρομές ενός συστατικού και τέλος τεθλασμένες διαδρομές πολλαπλών συστατικών. Στην συνέχεια, παρουσιάζεται μια αριθμητική μεθοδολογία για τον υπολογισμό των αγώγιμων μονοπατιών για το γενικό μοντέλο πολλών συστατικών - τεθλασμένων μονοπατιών. Για τον έλεγχο της, επαληθεύεται σε τυχαίο δυαδικό υλικό και στην συνέχεια εφαρμόζεται για την επίλυση συνθετικών προβλημάτων συνεχούς διήθησης σε δύο κλίμακες: μικροκλίμακα και μακροκλίμακα. Η ακρίβεια των υπολογισμών είναι πολύ κοντά στα υπάρχοντα μοντέλα. Η ταχύτητα υπολογισμών καθώς και η κατανάλωση μνήμης είναι πολύ καλύτερες από μεθόδους όπως πεπερασμένα στοιχεία - διαφορές. Σε τυχαίο δυαδικό υλικό, οι προσομοιώσεις δείχνουν ότι η σχέση κλιμάκωσης ακολουθείται με έναν εκθέτη κοντά στο 1.3. Επιπλέον, ο αριθμός των αγώγιμων μονοπατιών, το μέσο μήκος των μονοπατιών και το ενεργό πλάτος της μονής διαδρομής ακολουθεί νόμο κλιμάκωσης του οποίου υπολογίζονται οι εκθέτες οι οποίοι είναι περίπου ίσοι με 1.44, -0.25 και -0.39 αντίστοιχα. Τέλος στο όγδοο κεφάλαιο αποτυπώνονται τα συμπεράσματα καθώς και οι κατευθύνσεις για μελλοντική έρευνα.