Οι σύνδεσμοι (copulas) στη θεωρία πιθανοτήτων, στην ασαφή λογική και εφαρμογές τους

Abstract

The term Copula, as a mathematical term, was expressed for the first time by Abe Sklar in 1959, via the theorem that bares his name, that was presented in the paper ”Fonctions de répartition á n dimensions et leurs marges”. Copulas, as part of the probabilistic connectives, constitute an adequate mean for the combination of probabilistic information, of probability distributions. In a similar way, triangular norms, constitute an appropriate mean for the combination of fuzzy information, via membership functions. Based on the fact that in some situations, copulas and triangular norms coincide, in this Thesis, some construction methods of new probabilistic and fuzzy connectives are developed and a transformation from a possibility distribution to a probability distribution is presented. The Thesis, adopts the following structure: In Chapters 1, 2, and 3, some preliminary concepts about probabilistic connectives, possibilistic connectives and their relationship respectively are presented. Those concepts are properly cited from published research papers and books. In the first part of Chapter 4, a construction method of new probabilistic connectives is included, in which, the (α, β)-transformation for copulas is utilized. The produced connectives, are generalizations of the existing ones. In the second part of the fourth chapter, a method of construction and generalization of fuzzy probabilistic connectives is presented. In Chapter 5, the construction of aggregation operators for Intuitionistic Fuzzy Numbers via copulas is presented. In Chapter 6, the construction of aggregation operators for Fuzzy Credibility Numbers via copulas is presented. In Chapter 7, two applications are presented, about the constructed aggregation operators of the fifth and sixth chapters. In Chapter 8, a transformation of a possibility distribution to a probability distribution, is included.

Η έννοια Copula ως μαθηματικός όρος, εκφράστηκε για πρώτη φορά από τον Abe Sklar το 1959 μέσω του ομόνυμου θεωρήματος που εξέφρασε στην εργασία του ”Fonctions de répartition á n dimensions et leurs marges”. Οι Copulas ως μέλος των πιθανοθεωρητικών συνδέσμων αποτελούν κατάλληλο μέσο για την επίτευξη του συνδυασμού κατανομών πιθανοτήτων. Με έναν αντίστοιχο τρόπο, οι τριγωνικές νόρμες είναι κατάλληλο μέσο για το συνδυασμό ασαφών πληροφοριών μέσω των συναρτήσεων συμμετοχής. Με βάση το γεγονός ότι σε κάποιες συγκεκριμένες περιπτώσεις οι Copulas και οι τριγωνικές νόρμες συμπίπτουν, σε αυτή τη Διδακτορική Διατριβή αναπτύσονται μέθοδοι κατασκευής νέων πιθανοθεωρητικών και ασαφών συνδέσμων, αλλά και ένας μετασχηματισμός από μία συνάρτηση κατανομής δυνατότητας σε μία συνάρτηση κατανομής πιθανότητας. Η Διδακτορική Διατριβή ακολουθεί την παρακάτω δομή: Στα Κεφάλαια 1, 2 και 3, παρουσιάζονται οι εισαγωγικές έννοιες που αφορούν στους συνδέσμους της θεωρίας πιθανοτήτων, στους συνδέσμους της ασαφούς λογικής και στη σχέση αυτών, αντίστοιχα. Τα στοιχεία αυτά φέρουν και τις αντίστοιχες αναφορές από δημοσιευμένα επιστημονικά άρθρα και βιβλία. Στο πρώτο μέρος του Κεφαλαίου 4, περιέχεται μια μέθοδος κατασκευής νέων πιθανοθεωρητικών συνδέσμων, κατά την οποία αξιοποιείται ο (α, β)-μετασχηματισμός για Copulas. Οι παραγόμενοι αυτοί σύνδεσμοι αποτελούν γενικεύσεις των ήδη υπαρχόντων. Στο δεύτερο μέρος του τετάρτου κεφαλαίου, παρουσιάζεται μία μέθοδος γενίκευσης και κατασκευής ασαφών πιθανοθεωρητικών συνδέσμων. Στο Κεφάλαιο 5, διερευνάται η κατασκευή τελεστών συνάθροισης για Διαισθητικούς Ασαφείς Αριθμούς μέσω πιθανοθεωρητικών συνδέσμων. Στο Κεφάλαιο 6, διερευνάται η κατασκευή τελεστών συνάθροισης για Ασαφείς Αριθμούς Αξιοπιστίας μέσω πιθανοθεωρητικών συνδέσμων. Στο Κεφάλαιο 7, παρουσιάζονται δύο εφαρμογές που αφορούν στους παραχθέντες τελεστές συνάθροισης του πέμπτου και του έκτου κεφαλαίου.Στο Κεφάλαιο 8, περιέχεται ο μετασχηματισμός μίας κατανομής δυνατότητας σε μία κατανομή πιθανότητας