Κ-absolutely pure συμπλέγματα και ευσταθείς κατηγορίες στη gorenstein ομολογική άλγεβρα

Abstract

We examine the class of K-absolutely pure complexes. These are the complexes which are right orthogonal in the homotopy category K(R) to the acyclic complexes of pure-projective modules. The class K-abspure of these complexes is preenvelopingin K(R); in fact, a Bousfield localization exists for the embedding K-abspure ⊆ K(R) and the quotient K(R)/K-abspure is equivalent to the homotopy category of acyclic complexes of pure-projective modules. We examine the role of K-absolutely pure complexes in the pure derived category D pure(R) and show that K-abspure is the isomorphic closure of the class of K-injective complexes therein. We explore the relevance of strongly fp-injective modules in the study of K-absolutely pure complexes and characterize the K-absolutely pure complexes of strongly fp-injective modules. The notion of K-absolute purity is dual to the notion of K-flatness in the homotopy category, in a way analogous to the duality between (strongly) fp-injectivity and flatness in the module category. We shift our attention to Gorenstein homological Algebra. Projectively coresolved Gorenstein flat modules were introduced recently by Saroch and Stovicek and were shown to be Gorenstein projective. While the relation between Gorenstein projective and Gorenstein flat modules is not well understood, the class of projectively coresolved Gorenstein flat modules is contained in the class of Gorenstein flat modules. In this thesis necessary and sufficient conditions for a module of finite Gorenstein flat dimension to be projectively coresolved Gorenstein flat, or of finite flat dimension are proved.

Εξετάζουμε την κλάση των K-absolutely pure συμπλεγμάτων. Δηλαδή τα συμπλέγματα τα οποία είναι δεξιά ορθογώνια όλων των ακυκλικών συμπλεγμάτων pure-προβολικών προτύπων. Η κλάση των K-absolutely pure συμπλεγμάτων είναι preenveloping στην ομοτοπική κατηγορία. Πιο αναλυτικά, η κλάση των Κ-absolutely pure συμπλεγμάτων είναι η δεξιά κλάση σε ένα bousfield localizing ζεύγος και το Verdier πηλίκο της ομοτοπικής κατηγοριάς με την κλάση των Κ-absolutely pure συμπλεγμάτων είναι ισοδύναμο με την ομοτοπική κατηγορία των ακυκλικών συμπλεγμάτων pure-προβολικών προτύπων. Επιπλέον, μελετάμε τα K-absolutely pure συμπλέγματα μέσω της pure derived κατηγορίας ενός δακτυλίου και επιπλέον μελετάμε το ρόλο των strongly fp-injective προτύπων στη μελέτη των K-absolutely pure συμπλεγμάτων. Στρέφουμε τώρα την προσοχή μας στην Gorenstein Ομολογική Άλγεβρα, αποδεικνύουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε ένα πρότυπο πεπερασμένης Gorenstein επίπεδης διάστασης να είναι PGF ή πεπερασμένης επίπεδης διάστασης.