The study of the Jordan canonical forms of Killing tensor in the frame of general theory of relativity

Abstract

The Study of the Jordan Canonical forms of Killing Tensor in the frame of the General Theory of Relativity focuses on the extraction of exact solutions which admit the Canonical forms of the Killing Tensor. The existence of a Killing tensor in a Hamiltonian problem is equivalent to the existence of integrals of motion. In this work we seek to uncover analytical solutions of Einstein’s Field equations which admit hidden symmetries. Namely, we aim to discover new interesting solutions or discover hidden symmetries of the already known spacetimes correlating them with the existence of canonical forms of Killing tensor. To accomplish this, we confront the field equations of the theory along with the integrability conditions of the Killing equations of the Canonical forms of the Killing Tensor. The first part of dissertation provides a literature survey of the most known exact solutions. Since the resolving procedure is embodied with the usage of the Newman-Penrose formalism of the null tetrads, we introduce the basic concepts of the formalism and the corresponding notation in terms of the null tetrads. The next segment concerns the definition of the Killing tensor and therein we acquire the four Jordan canonical forms along with their integrability conditions. Our focus is concentrated on the study of only three of these canonical forms. Besides, the integrability conditions of the Killing equation of each form consist our additional assumption of symmetry in order to solve the field equations. The similarity of two of these forms allows us to handle them simultaneously. The first result is the Petrov types of each form, which are invariant characterizations of the obtained gravitational fields. We manage to obtain these with the implication of a rotation around the null tetrad frame. The Petrov types that admit K2 and K3 forms have in their line a type D solution which we are really interested in. We obtain multiple variations of new exact solutions of this type. Some of them reduce to known spacetimes. One of them emerged to be the Carter’s Case [D] which admit the K2 form apparently. Finally, along with the analysis of the Carter’s Case [D], we correlate the eigenvalues of the tensor with the constants of motion, giving rise to the significance of the entanglement of the Killing tensor.

Η Μελέτη των Κανονικών Jordan μορφών του τανυστή Killing στο πλαίσιο της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας εστιάζει στην απόκτηση αναλυτικών λύσεων της Γενικής Σχετικότητας που αποδέχονται τις κανονικές μορφές του τανυστή Killing. Η ύπαρξη του τανυστή Killing σε ένα Χαμιλτονιανό πρόβλημα είναι ισοδύναμο με την ύπαρξη των ολοκληρωμάτων της κίνησης. Σε αυτό το πλαίσιο αναζητούμε α ναλυτικές λύσεις των εξισώσεων Einstein που αποδέχονται κρυμμένες συμμετρίες. Συγκεκριμένα, σκοπεύουμε είτε να ανακαλύψουμε νέες λύσεις είτε να συσχετίσουμε τις κρυμμένες συμμετρίες των γνωστών λύσεων με τις κανονικές μορφές του τανυστή. Για να πετύχουμε κάτι τέτοιο πρέπει να λύσουμε ταυτόχρονα τις εξισώσεις πεδίου με τις εξισώσεις ολοκληρωσιμότητας των κανονικών μορφών του τανυστή Killing. Η διατριβή έχει ως αφετηρία μια σύντομη σύνοψη της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας και μια βιβλιογραφική έρευνα των ήδη γνωστών ακριβών λύσεων σε κάποιες από τις οποίες αναφερόμαστε συχνά. Η διαδικασία επίλυσης πραγματώνεται με τη χρήση του φορμαλισμού των ισότροπων τετράδων των Newman-Penrose. Σε αυτό το πλαίσιο, έπειτα από την παρουσίαση των βασικών στοιχείων της Γενικής Σχετικότητας και των ακριβών λύσεων, εισάγουμε πολύ συντομα τις βασικές αρχές του φορμαλισμού καθώς και τον αντίστοιχο συμβολισμό συναρτήσει των ισότροπων τετράδων. Το επόμενο στάδιο αφορά τον ορισμό του τανυστή Killing, σε αυτό το κεφάλαιο αποκτούμε τις τέσσερεις κανονικές Jordan μορφές και τις εξισώσεις ολοκληρωσιμότητάς τους, που αποτελούν την αρχική μας υπόθεση, με σκοπό την επίλυση των εξισώσεων πεδίου. Στην διατριβή αυτή θα ασχοληθούμε μόνο με τις τρεις κανονι-κές μορφές. Η ομοιότητα των μορφών K2 και K3 μας επιτρέπει να τις χειριστούμε ταυτόχρονα. Το πρώτο μας αποτέλεσμα είναι ο τύπος κατά Petrov της κάθε μορφής, που αποτελεί έναν αναλοίωτο χαρακτηρισμό του βαρυτικού πεδίου. Καταφέραμε να καταλήξουμε σε αυτό εφαρμόζοντας μια στροφή γύρω από το ισότροπο σύστημα τετράδων μιας και έτσι απλοποιούνται οι συντελεστές συνοχής spin. Οι τύποι κατά Petrov που αποδέχονται τις μορφές K2 και K3 περιλαμβάνουν μια αρκετά ενδιαφέρουσα λύση τύπου D. Αποκτήσαμε διάφορες εκδοχές αναλυτικών λύσεων αυτού του τύπου. Κάποιες από αυτές καταλήγουν σε γνωστούς χωροχρόνους. ́Ενας από τους αναδυόμενους χώρους ο οποίος αποδέχεται μόνο την μορφή K2, είναι η περίπτωση [D] των χώρων του Carter την οποία αναλύσαμε εκτεταμμένα. Παρουσιάζουμε ειδικές περιπτώσεις των ειδικών χώρων του, καθώς και τις τροχιές των γεωδαισιακών του. Τέλος η χρήση του τανυστή Killing μας παρέχει εκφράσεις που συσχετίζουν τις ιδιοτιμές του με τις σταθερές της κίνησης αναδεικνύοντας τη σημαντικότητά του.