Sections of complex convex bodies

Abstract

The Fourier analytic approach to sections of convex bodies has been developed, and the main idea is to express different parameters of a body in terms of the Fourier transform and then apply methods of Fourier analysis to solve geometric problems. The original Fourier approach applies to convex bodies in R^n . This thesis is focused at extending this approach to the complex case, where symmetric complex convex bodies are the unit balls of norms in C^n . If considered as convex bodies in R^{2n} complex convex bodies acquire the property of invariance with respect to certain rotations. This crucial observation arises from the nature of the norm of the bodies. Also complex hyperplanes correspond to only few of (2n − 2)-dimensional subspaces of R^{2n} . These facts motivated the study of the complex analogs of certain results on sections of real convex bodies. In Chapter 2 we present the solution of the complex Busemann-Petty problem which asks whether bodies with smaller volumes of hyperplane sections necessarilyhave smaller volumes in C^n . We show that the answer is affirmative if n ≤ 3 and negative if n ≥ 4. Since the answer is negative in most dimensions, it is natural to ask whatconditions on the volumes of hyperplane sections imply the same inequality for volumes in all dimensions. We answer this question in Chapter 3.Chapter 4 is dedicated to the study of a generalization of the complex Busemann-Petty problem, where the volume is replaced by any measure. This generalizes theresult of Zvavitch in the real case. In chapter 5 we study the extremal sections of complex l_p -balls by complex hyperplanes for 0 < p ≤ 2. Finally, in Chapter 6, we prove that the complex unit ball, B_p(C^n ), of l_p , p > 2 is not a k-intersection body, if k < 2n − 4.

Η Fourier-αναλυτική προσέγγιση τομών κυρτών σωμάτων έχει αναπτυχθεί αρκετά. Η κεντρική ιδέα είναι να εκφραστούν οι διάφορες παράμετροι ενός σώματος με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier και στη συνέχεια να εφαρμοστούν μέθοδοι από την ανάλυση Fourier για να λύσουν γεωμετρικά προβλήματα. Η αρχική προσέγγιση εφαρμόστηκε σε κυρτά σώματα του R^n. Η παρούσα διατριβή εστιάζει στην επέκταση της προσέγγισης στη μιγαδική περίπτωση, στην οποία συμμετρικά, ως προς το 0, μιγαδικά κυρτά σώματα είναι οι μοναδιαίες μπάλες νορμών στο C^n . Αν θεωρηθούν ως κυρτά σώματα στο R^{2n} τα μιγαδικά κυρτά σώματα αποκτούν την ιδιότητα του αναλλοίωτου ως προς συγκεκριμένες στροφές. Αυτή η κρίσιμη παρατήρηση προκύπτει από τη φύση των νορμών των σωμάτων. Επιπλέον, τα μιγαδικά υπερεπίπεδα αντιστοιχούν μόνο σε λίγους από τους (2n − 2)-διάστατους υποχώρους του R^{2n}. Οι παρατηρήσεις αυτές αποτέλεσαν κίνητρο για τη μελέτη των μιγαδικών αναλόγων ορισμένων αποτελεσμάτων σχετικά με τομές πραγματικών κυρτών σωμάτων. Στο κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε τη λύση του μιγαδικού προβλήματος των Busemann-Petty, το οποίο ρωτά αν σώματα με μικρότερες τομές από υπερεπίπεδα έχουν απαραίτητα μικρότερους όγκους στο C^n. Δείχνουμε ότι η απάντηση είναι καταφατική αν n ≤ 3 και αρνητική αν n ≥ 4. Εφόσον η απάντηση στο μιγαδικό πρόβλημα των Busemann-Petty είναι αρνητική στις περισσότερες διαστάσεις, είναι φυσιολογικό να ρωτάει κανείς τι συνθήκες θα μπορούσαν να τεθούν για τις κεντρικές τομές μιγαδικών κυρτών σωμάτων με μιγαδικά υπερεπίπεδα, ώστε να έχουμε καταφατική απάντηση στο πρόβλημα για όλες τις διαστάσεις. Στο Κεφάλαιο 3 απαντάμε σε αυτή την ερώτηση. Το Κεφάλαιο 4 είναι αφιερωμένο στη γενίκευση του μιγαδικού προβλήματος των Busemann-Petty, αντικαθιστώντας τον όγκο με οποιοδήποτε μέτρο. Το αποτέλεσμα αυτό είναι το μιγαδικό ανάλογο της γενίκευσης του (πραγματικού) προβλήματος για γενικά μέτρα του Zvavitch. Στο Κεφάλαιο 5 μελετάμε τις ακραίες κεντρικές τομές μιγαδικών l_p-μπαλών από μιγαδικά υπερεπίπεδα για 0 < p ≤ 2. Τέλος, στο Κεφάλαιο 6, αποδεικνύουμε ότι η μιγαδική μοναδιαία μπάλα, Bp (C^n ), του l_p, p > 2, δεν είναι ένα k-σώμα τομών, αν k < 2n − 4.