Mathematical Theory of Thermoelasticity

Abstract

In the present doctoral dissertation the mathematical theory of thermoelasticity and more precisely the scattering theory of thermoelastic waves is studied. Thermoelastic scattering problems for time-harmonic fields, for the cases of an impenetrable or a penetrable scattering object as well as for the case of a multi-layered scattering body with an impenetrable or a penetrable core, are formulated and studied. A four-dimensional form of the thermoelastic fields whose first three components correspond to the displacement fields and whose fourth components correspond to the temperature fields, is used to obtain the aforementioned scattering problem formulations in a unified form. Usage of the conditions on the scatterer's surface and usage of the conditions on the scatterer's layers surfaces respectively, lead to the derivation of alternative integral representations of the thermoelastic scattered field as well as to the construction of alternative expressions of the thermoelastic far-field patterns in which the scatterer's interior thermoelastic physical parameters and fields are incorporated. Uniqueness of solution for the thermoelastic scattering problems under study is proved via the usage of a Helmholtz's decomposition, Kupradze's thermoelastic radiation conditions and a Rellich's type Lemma. Existence of solution is also proved via the usage of single- and double- layer thermoelastic potentials and the Riesz-Fredholm theory. Next, scattering problems of time-harmonic elastic waves for a penetrable or a multi-layered thermoelastic scatterer with a penetrable core are formulated. Via the usage of the transmission conditions, alternative integral representations of the elastic scattered field as well as alternative expressions of the elastic far-field patters are constructed, containing the interior thermoelastic fields and the scatterer's physical parameters. Moreover, scattering relations corresponding to the reciprocity theorem, the general scattering theorem and the optical theorem are presented and proved. Finally, an inverse scattering problem of thermoelastic waves by a rigid thermoelastic scattering object that is a-priori known to be of ellipsoidal shape and aims to the recovery of its unknown size and orientation is treated. A near-field method for solving the aforementioned inverse scattering problem via the usage of a finite number of measurements of the leading order-term of the low-frequency expansion of the thermoelastic scattered field is presented. Corresponding results for the geometrically degenerate case of the rigid thermoelastic sphere are obtained.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάται η μαθηματική θεωρία της θερμοελαστικότητας και ειδικότερα η θεωρία σκέδασης θερμοελαστικών κυμάτων. Μοντελοποιούνται και μελετώνται θερμοελαστικά προβλήματα σκέδασης για χρονικά αρμονικά εξαρτημένα πεδία, για τις περιπτώσεις ενός μη διαπερατού ή ενός διαπερατού σκεδαστή όπως επίσης και για την περίπτωση ενός πολυστρωματικού σκεδαστή με μη διαπερατό ή διαπερατό πυρήνα. Μια τετραδιάστατη μορφή των θερμοελαστικών πεδίων της οποίας οι τρεις πρώτες συνιστώσες αντιστοιχούν στο πεδίο μετατόπισης και η τέταρτη συνιστώσα αντιστοιχεί στο πεδίο θερμοκρασίας, χρησιμοποιείται για τη μοντελοποίηση των προαναφερθέντων προβλημάτων σκέδασης σε ενοποιημένη μορφή. Κάνοντας χρήση των συνθηκών πάνω στην επιφάνεια του σκεδαστή και χρήση των συνθηκών πάνω στις επιφάνειες των στρωμάτων του σκεδαστή αντίστοιχα, κατασκευάζονται εναλλακτικές ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις του θερμοελαστικού σκεδασμένου πεδίου και εναλλακτικές εκφράσεις των θερμοελαστικών μακρινών πεδίων στις οποίες έχουν ενσωματωθεί οι θερμοελαστικές φυσικές παράμετροι του εσωτερικού του σκεδαστή και τα εσωτερικά θερμοελαστικά πεδία. Αποδεικνύεται η μοναδικότητα λύσης των υπό μελέτη θερμοελαστικών προβλημάτων σκέδασης κάνοντας χρήση μίας Helmholtz αναπαράστασης, των συνθηκών ακτινοβολίας του Kupradze και ενός Λήμματος τύπου Rellich. Επίσης, αποδεικνύεται η ύπαρξη λύσης κάνοντας χρήση θερμοελαστικών δυναμικών απλού και διπλού στρώματος και της θεωρίας Riesz-Fredholm. Στη συνέχεια, μοντελοποιούνται προβλήματα σκέδασης αρμονικά χρονικά εξαρτημένων ελαστικών κυμάτων από ένα διαπερατό και από ένα πολυστρωματικό θερμοελαστικό σκεδαστή με διαπερατό πυρήνα. Κάνοντας χρήση των συνθηκών διαπερατότητας, κατασκευάζονται εναλλακτικές ολοκληρωτικές αναπαράστασεις του ελαστικού σκεδασμένου πεδίου και εναλλακτικές εκφράσεις των ελαστικών μακρινών πεδίων, οι οποίες περιλαμβάνουν τα εσωτερικά θερμοελαστικά πεδία και τις φυσικές παραμέτρους του σκεδαστή. Επίπλέον, παρουσιάζονται και αποδεικνύονται σχέσεις σκέδασης που αντιστοιχούν στο θεώρημα αμοιβαιότητας, στο γενικό θεώρημα σκέδασης και στο οπτικό θεώρημα. Τέλος, μελετάται ένα αντίστροφο πρόβλημα σκέδασης θερμοελαστικών κυμάτων από έναν άκαμπτο θερμοελαστικό σκεδαστή ο οποίος είναι a-priori γνωστό ότι είναι ελλειψοειδούς σχήματος και αποσκοπεί στον προσδιορισμό του μεγέθους και του προσανατολισμού του. Παρουσιάζεται μία μέθοδος επίλυσης του προαναφερθέντος αντιστρόφου προβλήματος σκέδασης, κάνοντας χρήση δεδομένων κοντινού πεδίου και συγκεκριμένα ενός πεπερασμένου αριθμού μετρήσεων του πρώτου όρου του αναπτύγματος χαμηλών συχνοτήτων του θερμοελαστικού σκεδασμένου πεδίου. Αντίστοιχα αποτελέσματα παρουσιάζονται για την γεωμετρικά εκφυλισμένη περίπτωση της σφαίρας.