Calculation of multi-time correlation functions in dissipative quantum φ4 theory

Abstract

In quantum field theories, Feynman diagrams depict visually the interaction of elementary particles. In these diagrams, closed loops are involved, corresponding to integration over all possible combinations of energy and momentum of the virtual particles traveling in the space-time continuum, leading often to infinities. To treat these infinities, renormalization of the parameters of the theory is required. Renormalization specifies relationships between parameters in the theory whose values at large length scales are different from those at short length scales. Behind renormalization lies the problem of the proper elimination of degrees of freedom in order to bridge the gap between different length and time scales. Nonequilibrium thermodynamics offers an alternative approach to the problem of the time evolution of an open quantum system through a time-evolution master equation for the density matrix of the system, which includes reversible and irreversible contributions. In particular, irreversibility introduces dissipative smoothing mechanisms for the terms responsible for the infinities, providing the proper regularization of the theory.The objective of the present doctoral dissertation is the implementation of a modern approach guided by principles of nonequilibrium thermodynamics for quantum systems on quantum field theories. More specifically, we apply the dissipative quantum field theory (DQFT) developed by Prof. Dr. Hans Christian Öttinger in the simplest case possible, that of the scalar φ^4 theory where interactions involve always four scalar particles, to calculate perturbative expansions of multi-time correlation functions in the limit of zero temperature and to extract the respective Feynman diagrams. In this Thesis, we focus specifically on the two- and four-point correlation functions, corresponding to the propagator and the effective interaction vertex, respectively. To achieve this, we developed a powerful symbolic code which allowed us to compute the two functions up to third order in the interaction parameter. Wherever possible, some of the terms in the perturbation expansion were computed analytically in order to check and confirm the validity of the code.The use of symbolic computation was motivated by the fact that the perturbative DQFT in d dimensions (d denotes the number of space dimensions) is considerably more complicated than the usual calculations in D = d + 1 dimensions (D the number of space + time dimensions) of the Lagrangian quantum field theory, generating a huge number of terms with increasing order of perturbation. In this Thesis we present the structure of the new code and of the commands performing the calculation of terms within a given order. We explain how the outcome of these commands should be organized and simplified in order to lead to a compact final expression, thus rendering the identification of the relevant Feynman diagrams more transparent. As expected, the resulting expressions for the propagator and the effective interactive vertex contain terms corresponding to zeroth-, first-, second- and third-order contributions. The terms up to second order have already been reported by Prof. Dr. Hans Christian Öttinger. In this Thesis, we computed the third-order contributions to both of them in terms of connected and unconnected Feynman diagrams and studied their topology. The latter do not contribute to the final result for the two functions. Moreover, due to the application of Wick or normal ordering, no tadpole diagrams are produced. In the limit of vanishing dissipation (zero friction coefficient), the final expressions for the two correlation functions analyzed in this Thesis (propagator and effective interaction vertex) coincide with those obtained from the Lagrangian quantum field theory. This is achieved by integrating out the time or energy component in the D-dimensional integrals of the Lagrangian approach to obtain the d-dimensional integrals of the dissipative approach.The final expression for the propagator up to third order is regularized with two different schemes, one of them being the so-called ‘on shell’ scheme, thus obtaining fully convergent results in d = 3 dimensions. Even more important, by combining our results for the second- and third-order contributions at the long-time or low-energy limit, we confirm that the value of the critical coupling constant λ* as a function of space dimensionality d is correctly reproduced, which demonstrates the power of the new, dissipative approach to quantum field theory and the correct implementation (in its entirety) of the powerful symbolic code developed in this Thesis.The corresponding dissipative result for the effective interaction vertex is expressed in terms of a parameter describing the level of energy conservation violation. A compact and rather friendly expression is obtained by assuming that the external legs are amputated and the mass is equal to zero, demonstrating the finiteness of the terms appearing in the vertex, in the limit of vanishing friction, which is a great outcome of the dissipative approach followed. Moreover, many striking similarities are pointed out and discussed with the corresponding Lagrangian result at the same order of perturbation.Overall, collision events in the Feynman diagrams of DQFT have a well-defined arrow of time, which is a very attractive feature. Additionally, and despite the complexity of the intermediate operations, the use of the symbolic code with the application of some well-thought simplifications and term-by-term reorganizations leads to a final result which is quite friendly and directly comparable to the Lagrangian one. This indicates the power of symbolic programming in handling multi-time correlation functions in the context of DQFT. More specifically, the symbolic code developed in this Thesis has been kept general enough so as to be able to handle additional terms in the expansion of the two correlation functions studied here, as well as to render it expendable to other theories with suitable adaptations.

Στις κβαντικές θεωρίες πεδίου, τα διαγράμματα Feynman αναπαριστούν εικονικά την αλληλεπίδραση στοιχειωδών σωματιδίων. Στα διαγράμματα αυτά περιλαμβάνονται κλειστοί βρόγχοι που αντιστοιχούν σε ολοκλήρωση πάνω σε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς ενέργειας και ορμών των εικονικών σωματιδίων, τα οποία ταξιδεύουν στο χωροχρονικό συνεχές, οδηγώντας συχνά σε απειρισμούς. Για να αντιμετωπιστούν αυτοί οι απειρισμοί, είναι αναγκαία η επανακανονικοποίηση των παραμέτρων της θεωρίας. Η επανακανονικοποίηση καθορίζει τις σχέσεις μεταξύ των παραμέτρων της θεωρίας, των οποίων οι τιμές σε μεγάλες κλίμακες μήκους διαφέρουν από εκείνες σε μικρές κλίμακες. Πίσω από την επανακανονικοποίηση βρίσκεται το πρόβλημα της κατάλληλης εξάλειψης βαθμών ελευθερίας έτσι ώστε να γεφυρωθούν περιγραφές σε διαφορετικές κλίμακες μήκους και χρόνου. Η θερμοδυναμική εκτός ισορροπίας προσφέρει μια εναλλακτική προσέγγιση στο πρόβλημα της χρονικής εξέλιξης ενός ανοιχτού κβαντικού συστήματος μέσω της διατύπωσης μιας χρονομεταβαλλόμενης καταστατικής εξίσωσης για τον πίνακα πυκνότητας πιθανοτήτων (density matrix) του συστήματος, η οποία εμπεριέχει αντιστρεπτές και μη αντιστρεπτές συνεισφορές. Ειδικά οι μη αντιστρεπτές διεργασίες εισάγουν μηχανισμούς αποσβεστικής εξομάλυνσης των όρων που είναι υπεύθυνοι για τους απειρισμούς και έτσι συνεισφέρουν τα μέγιστα στη σωστή συμπεριφορά της θεωρίας.Ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η εφαρμογή μιας μοντέρνας προσέγγισης καθοδηγούμενη από αρχές της θερμοδυναμικής εκτός ισορροπίας για κβαντικά συστήματα πάνω σε κβαντικές θεωρίες πεδίου. Πιο συγκεκριμένα, εφαρμόζουμε την αποσβεστική κβαντική θεωρία πεδίου (ΑΚΘΠ - dissipative quantum field theory, DQFT) η οποία αναπτύχθηκε από τον Καθ. Δρ. Hans Christian Öttinger στην απλούστερη δυνατή περίπτωση, αυτή της βαθμωτής φ^4 θεωρίας στην οποία οι αλληλεπιδράσεις εμπλέκουν πάντα τέσσερα βαθμωτά σωματίδια, ώστε να υπολογίσουμε τα διαταρακτικά αναπτύγματα πολυχρονικών συναρτήσεων συσχέτισης (multi-time correlation functions) στο όριο μηδενικής θερμοκρασίας και να εξάγουμε τα σχετικά διαγράμματα Feynman. Στην παρούσα διατριβή, επικεντρωνόμαστε στις συναρτήσεις συσχέτισης δύο σημείων (two-point correlation function) και τεσσάρων σημείων (four-point correlation function), οι οποίες είναι γνωστές ως διαδότης (propagator) και συνάρτηση κορυφής (effective interaction vertex), αντίστοιχα. Για την επίτευξη αυτού, αναπτύξαμε έναν κατάλληλο συμβολικό κώδικα για τον υπολογισμό των δύο αυτών συναρτήσεων έως και όρους τρίτης τάξης ως προς την παράμετρο αλληλεπίδρασης. Οπουδήποτε ήταν εφικτό, μερικοί όροι του διαταρακτικού αναπτύγματος υπολογίστηκαν αναλυτικά ώστε να ελέγξουμε και να επαληθεύσουμε την εγκυρότητα του κώδικα.Έναυσμα για τη χρήση συμβολικών υπολογισμών ήταν το γεγονός ότι οι υπολογισμοί της διαταρακτικής θεωρίας στην ΑΚΘΠ σε d διαστάσεις (d είναι ο αριθμός των χωρικών διαστάσεων) είναι δραματικά πιο περίπλοκοι από τους συνήθεις υπολογισμούς σε D = d + 1 (D είναι ο αριθμός των χωρικών + χρονικών διαστάσεων) της Λαγκρανζιανής κβαντικής θεωρίας πεδίου, δημιουργώντας έναν τεράστιο αριθμό όρων αυξανομένου του βαθμού της διαταραχής. Σε αυτήν τη διατριβή, παρουσιάζουμε αναλυτικά τη δομή του νέου κώδικα και των εντολών που εκτελούν τον υπολογισμό των όρων σε μία δεδομένη τάξη. Επεξηγούμε με ποιον τρόπο το παραγόμενο αποτέλεσμα οργανώνεται και απλοποιείται ώστε να φτάσουμε σε ένα πιο συμπαγές αποτέλεσμα, από το οποίο επιτυγχάνεται πιο καθαρά η ταυτοποίηση των σχετικών Feynman διαγραμμάτων. Όπως ήταν αναμενόμενο, οι απορρέουσες εκφράσεις του διαδότη και της συνάρτησης κορυφής είναι ένα άθροισμα όρων που αντιστοιχούν σε συνεισφορές μηδενικής, πρώτης, δευτέρας και τρίτης τάξης. Οι όροι έως και δευτέρας τάξης έχουν ήδη παρουσιαστεί από τον Καθ. Δρ. Hans Christian Öttinger. Στην παρούσα διατριβή, υπολογίσαμε τη συνεισφορά τρίτης τάξης των δύο συναρτήσεων συσχέτισης η οποία ανάγεται σε όρους συνδεδεμένων (connected) και ασύνδετων (unconnected) διαγραμμάτων Feynman των οποίων η τοπολογία μελετήθηκε. Αναφορικά με τα ασύνδετα διαγράμματα, αυτά δε συνεισφέρουν στο τελικό αποτέλεσμα των δύο συναρτήσεων. Επιπλέον, λόγω χρήσης της κανονικής διάταξης (Wick ή normal ordering) των τελεστών δεν παρατηρούνται διαγράμματα τύπου tadpole.Στο όριο μηδενικής τριβής, τα αποτελέσματα για τις δύο υπό μελέτη συναρτήσεις συσχέτισης (διαδότης και συνάρτηση κορυφής) ταυτίζονται με εκείνα της κλασσικής Λαγκρανζιανής προσέγγισης. Αυτό επιτυγχάνεται ολοκληρώνοντας τα D-διάστατα ολοκληρώματα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης ως προς τη διάσταση του χρόνου ή της ενέργειας, καταλήγοντας σε d-διάστατα ολοκληρώματα της αποσβεστικής προσέγγισης.Η τελική έκφραση του διαδότη έως και τρίτης τάξης επανακανονικοποιείται με δύο μεθόδους, μία εκ των οποίων είναι η λεγόμενη ‘on shell’, καταλήγοντας έτσι σε αποτελέσματα που δεν εμφανίζουν απειρισμούς σε d = 3 διαστάσεις. Ένα πολύ σημαντικό αποτέλεσμα είναι ότι από τον συνδυασμό όρων δευτέρας και τρίτης τάξης στον διαδότη, στο όριο των μεγάλων χρόνων, η θεωρία επαληθεύει την τιμή της κρίσιμης σταθεράς σύζευξης λ* συναρτήσει του αριθμού των χωρικών διαστάσεων d, γεγονός που επιδεικνύει τη δύναμη της νέας αποσβεστικής προσέγγισης αλλά και των νέων υπολογιστικών εργαλείων που αναπτύχθηκαν στα πλαίσια της παρούσας διατριβής.Αναφορικά με τη συνάρτηση κορυφής, το αντίστοιχο αποσβεστικό αποτέλεσμα εκφράζεται σε όρους μια παραμέτρου η οποία περιγράφει το βαθμό παραβίασης της διατήρησης ενέργειας. Αμελώντας την ορμή των εισερχόμενων και εξερχόμενων σωματιδίων και θεωρώντας ότι η μάζα των εικονικών σωματιδίων είναι μηδενική, καταλήγουμε σε μια συμπαγή και αρκετά φιλική έκφραση, από την οποία φαίνεται ότι οι όροι της συνάρτησης κορυφής δεν εμφανίζουν απειρισμούς στο όριο μηδενικής τριβής, γεγονός που είναι πολύ σημαντικό για την αποσβεστική θεωρία που εφαρμόστηκε. Επιπλέον, παρατηρούνται αρκετές εντυπωσιακές ομοιότητες με το αντίστοιχο αποτέλεσμα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης στην ίδια τάξη της διαταραχής, οι οποίες συζητούνται εκτενώς.Γενικά, τα γεγονότα αλληλεπίδρασης που απεικονίζονται στα διαγράμματα Feynman της ΑΚΘΠ έχουν μια σαφώς καθορισμένη χρονική αλληλουχία, χαρακτηριστικό το οποίο είναι αρκετά ενδιαφέρον. Επίσης, παρά την πολυπλοκότητα των ενδιάμεσων πράξεων, η χρήση του συμβολικού κώδικα μαζί με την εφαρμογή ορισμένων καλά μελετημένων απλοποιήσεων και της αναδιοργάνωσης κάθε όρου ξεχωριστά οδηγεί σε ένα τελικό αποτέλεσμα το οποίο είναι αρκετά φιλικό και άμεσα συγκρινόμενο με το αντίστοιχο αποτέλεσμα της Λαγκρανζιανής προσέγγισης. Το γεγονός αυτό επιδεικνύει τη δύναμη του συμβολικού προγραμματισμού στο να χειρίζεται πολυχρονικές συναρτήσεις συσχέτισης στα πλαίσια της ΑΚΘΠ. Εν τούτοις, η δομή του συμβολικού κώδικα που αναπτύχθηκε στη παρούσα διατριβή είναι γενική έτσι ώστε να είναι εφικτός ο υπολογισμός επιπρόσθετων όρων του αναπτύγματος των δύο συναρτήσεων συσχέτισης που μελετήθηκαν, όπως επίσης και η επέκτασή του σε άλλες θεωρίες έπειτα από την κατάλληλη τροποποίησή του.