Hardy inequalities in non- Euclidean geometries

Abstract

The aim of this doctoral dissertation is to investigate the validity and additional properties of Hardy's well known inequality in various settings beyond the Euclidean. The dissertation consists of four chapters. Chapter 1 offers background on Hardy inequalities, particularly so in the non-Euclidean setting. In Chapter 2, we introduce a method of integration along integral curves to obtain Hardy inequalities for the first order differential operator X in a given manifold M with volume form ω. Chapter 3 is concerned with higher order Rellich inequalities related to general elliptic operators with constant coeficients, other than the classic polyharmonic operator. In this case, we show that a Rellich inequality can be expressed in terms of an induced Finsler distance which is given in terms of the symbol of the operator. This new type of inequality is shown to be sharp in the case where the underlying domain is a half-space and the symbol satisfies a convexity condition, while comparisons are made for the case of a convex domain, yielding results that are superior to those obtained by more crude methods, in specific situations. Finally, in Chapter 4, we deal with the sensitivity of the Hardy constant under perturbations of the domain in the case where the distance is measured from a boundary submanifold. Specifcally, we find the Hardy constant to be both continuous and differentiable (in the Gateaux sence) under such perturbations, assuming some regularity conditions on the boundary.

Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η διερεύνηση της ισχύος και των ιδιοτήτων της γνωστής ανισότητας του Hardy σε πλαίσια που υπερβαίνουν το κλασικό Ευκλείδειο πλαίσιο. Στο Κεφάλαιο 1 δίνουμε υπόβαθρο για τις ανισότητες Hardy, ιδιαίτερα όσον αφορά το μη-Ευκλείδειο πλαίσιο. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε μια μέθοδο ολοκλήρωσης πάνω σε ολοκληρωτικές καμπύλες, που δίνει ανισότητες Hardy για ένα διαφορικό τελεστή πρώτης τάξης X σε κάποια πολλαπλότητα M με μορφή όγκου ω. Το Κεφάλαιο 3 ασχολείται με ανισότητες Rellich ανώτερης τάξης που σχετίζονται με γενικούς ελλειπτικούς τελεστές με σταθερούς συντελεστές, διαφορετικούς από τον κλασικό πολυαρμονικό τελεστη. Σε αυτή την περίπτωση, δείχνουμε ότι μια ανισότητα Rellich μπορεί να εκφραστεί μέσω μιας κατάλληλης απόστασης Finsler που εξαρτάται από το σύμβολο του τελεστή. Αυτή η νέα μορφή ανισότητας αποδεικνύεται να είναι βέλτιση στην περίπτωση που το χωρίο είναι ημιχώρος και το συμβολο ικανοποιεί μια συνθήκη κυρτότητας. Γίνεται επιπλέον σύγκριση για κυρτα χωρία με άλλες πιο κλασικές μεθόδους, που δίνει καλύτερα αποτελέσματα από τα υπάρχοντα σε ορισμένες συγκεκριμένες περιπτώσεις. Εν τέλει, στο Κεφάλαιο 4, ασχολούμαστε με την ευστάθεια της σταθεράς Hardy ως προς διαταραχές του χωρίου στην περίπτωση που η απόσταση μετράται από τμήμα (υποπολλαπλότητα) του συνόρου.Συγκεκριμένα βρίσκουμε ότι η σταθερά Hardy είναι και συνεχής και παραγωγίσιμη (κατά Gateaux) ως προς τέτοιες διαταραχές, υπό την προϋπόθεση ότι το σύνορο ικανοποιεί κάποιες συνθήκες oμαλότητας.