Studies in multidimensional stochastic processes: multivariate long-range dependence and synthesis of Gaussian random fields

Abstract

This thesis is concerned with the study of multidimensional stochastic processes with special dependence structures. It is comprised of 3 parts. The first two parts concern multivariate long-range dependent time series. These are stationary multivariate time series exhibiting long-range dependence in the sense that the impact of past values of the series to the future ones dies out slowly with the increasing lag. In contrast to the univariate case, where long-range dependent time series are well understood and applied across a number of research areas such as Economics, Finance, Computer Networks, Physics, Climate Sciences and many others, the study of multivariate long-range dependent time series has not matured yet. This thesis sets proper theoretical foundations of such series and examines their statistical inference under novel models. The third part of the thesis is concerned with two-dimensional stationary Gaussian random fields. In particular, a fast algorithm is proposed for exact synthesis of such fields based on convex optimization and is shown to outperform existing approaches.

Η παρούσα διατριβή ασχολείται με τη μελέτη πολυδιάστατων στοχαστικών διαδικασιών που διέπονται από ειδικές σχέσεις εξάρτησης. Η διατριβή αποτελείται από 3 μέρη. Τα δύο πρώτα αφορούν πολυμεταβλητές χρονοσειρές μακράς εξάρτησης. Πρόκειται για στάσιμες πολυμεταβλητές χρονοσειρές που έχουν μακρά «μνήμη», με την έννοια ότι η επίδραση των παρελθοντικές τιμών της σειράς στις μελλοντικές τιμές, μειώνεται με αργό ρυθμό καθώς αυξάνεται η υστέρηση μεταξύ τους. Σε αντίθεση με το μονομεταβλητή περίπτωση, όπου οι χρονοσειρές μακράς εξάρτησης έχουν κατανοηθεί επαρκώς και εφαρμόζονται σε ποικίλες ερευνητικές περιοχές όπως Οικονομικά, Χρηματοοικονομικά, Δίκτυα Υπολογιστών, Φυσική, Κλιματικές Επιστήμες και πολλές άλλες, η μελέτη των πολυμεταβλητών χρονοσειρών μακράς εξάρτησης δεν έχει ωριμάσει πλήρως. Η παρούσα διατριβή θέτει τα κατάλληλα θεωρητικά θεμέλια για τη μελέτη τέτοιων χρονοσειρών, και εξετάζει τη στατιστική συμπερασματολογία τους κάτω από καινοφανή μοντέλα. Το τρίτο μέρος της διατριβής αφορά δισδιάστατα στάσιμα τυχαία πεδία Gauss. Πιο συγκεκριμένα, προτείνεται ένας γρήγορος αλγόριθμος για την ακριβή σύνθεση τέτοιων πεδίων μέσα από μεθόδους κυρτή βελτιστοποίησης και αναδεικνύεται η ανωτερότητα του σε σύγκριση με υφιστάμενες προσεγγίσεις.