Mathematical analysis of interactions between a layered medium and a distribution of point sources

Abstract

The problem of exciting a layered medium with an arbitrary distributionof (acoustic) point sources or (electric/magnetic) dipoles is considered in this dissertation. A mathematical formulation based on the topology of the distribution of the sources/dipoles and their number is employed.The energy transfer process is investigated by adopting the complex form of the energy functionals. Energy Conservation Laws that relate the real part of the power flux with the corresponding scattering cross sections and the imaginary part of the power flux with the Lagrangian density in the propagating medium are derived. The notions of Interaction Scattering Cross Sections (ISCS) and Interaction Power Fluxes (IPF) that quantify the effects of interaction between point sources/dipoles are developed and relevant optical theorems are established. Physical bounds for the ISCS ratios, the number of point sources/dipoles and the number of excitation layers are derived as well.The exact solution of the direct problem in spherical geometry is determined by devising an overall superposition method that combines the T-Matrix, Sommerfeld’s and Green’s Functions methods. In particular, by formulating the superposition of the individual fields into an overall field, exact expressions for the coefficients of the scattered fields are obtained. An extensive parametric numerical analysis for the behavior of the energy functionals and the ISCS ratios is presented. Finally, the behavior of the involved fields is further investigated in the so-called low frequency zone by utilizing tools of asymptotic analysis. Several inverse problems concerning the number of sources/dipoles, the physical parameters of the scatterer and/or its geometrical characteristics are formulated and solved analytically for the spherical geometry.

Το πρόβλημα διέγερσης ενός πολυστρωματικού μέσου από μια αυθαίρετη κατανομή (ακουστικών) σημειακών πηγών ή (ηλεκτρικών / μαγνητικών) διπόλων αποτελεί το βασικό αντικείμενο αυτής της διατριβής. Το προτεινόμενο μαθηματικό μοντέλο βασίστηκε στην τοπολογία της κατανομής των πηγών καθώς και στο πλήθος τους. Μέσω αυτής της προσέγγισης, αποδείχθηκαν Νόμοι Διατήρησης της Ενέργειας, οι οποίοι συνδέουν ευθέως την καθολική διατομή σκέδασης με την ενεργό ροή (πραγματικό μέρος των διανυσμάτων ροής) στο εσωτερικό των διεγειρόντων στρωμάτων. Επιπλέον, η Λαγκραντζιανή πυκνότητα στο μέσο διάδοσης (εξωτερικό) και τον σκεδαστή συνδέθηκε άμεσα με την άεργο ισχύ στα διεγείροντα στρώματα. Η εισαγωγή των εννοιών των Διατομών Αλληλεπίδρασης και των Ροών Αλληλεπίδρασης, βοήθησε στην ποσοτικοποίηση της ενέργειας και της ροής που οφείλεται στην αλληλεπίδραση μεταξύ των εμπλεκόμενων πεδίων. Συγκεκριμένα, αποδείχθηκαν οπτικά θεωρήματα που συνδέουν τις Διατομές Αλληλεπίδρασης με τα q-μερικά πεδία, ενώ αποδείχθηκε ότι τα εν λόγω θεωρήματα, αποτελούν γενίκευση του Γενικού Θεωρήματος Σκέδασης. Με χρήση κατάλληλων τεχνικών Συναρτησιακής Ανάλυσης, αποδείχθηκαν φυσικά φράγματα για το ποσοστό των Διατομών Αλληλεπίδρασης επί της καθολικής διατομής σκέδασης και για το πλήθος των πηγών που διεγείρουν τον σκεδαστή και των διεγειρόντων στρωμάτων του σκεδαστή. Μέσω ανάλυσης των εμπλεκόμενων διανυσμάτων ροής, συσχετίστηκαν οι Ροές Αλληλεπίδρασης με τις Διατομές Αλληλεπίδρασης και τα q-μερικά πεδία. Η ακριβής, αναλυτική λύση του ευθέος προβλήματος σκέδασης για την σφαιρική γεωμετρία επιτυγχάνεται μέσω μιας μεθόδου καθολικής υπέρθεσης, η οποία συνδυάζει στοιχεία των μεθόδων Sommerfeld, T-Matrix και των συναρτήσεων Green. Μέσω κατάλληλης υλοποίησης σε προγραμματιστικό περιβάλλον της ακριβούς λύσης του ευθέος προβλήματος για τη σφαιρική γεωμετρία, διενεργείται εκτενής παραμετρική ανάλυση που εξετάζει την συμπεριφορά των ενεργειακών ποσοτήτων σε σύγκριση με τις μεταβολές των γεωμετρικών χαρακτηριστικών των σκεδαστών, των φυσικών τους παραμέτρων καθώς του πλήθους ή/και της τοπολογίας των πηγών/διπόλων που διεγείρουν τον σκεδαστή. Τέλος, η συμπεριφορά των εμπλεκόμενων πεδίων ερευνάται περαιτέρω στη λεγόμενη ζώνη χαμηλών συχνοτήτων. Με χρήση εργαλείων και τεχνικών Ασυμπτωτικής Ανάλυσης, η μορφή των τύπων για αυτήν την κατηγορία προβλημάτων απλοποιείται και μια πληθώρα αντιστρόφων προβλημάτων διατυπώνεται και επιλύεται αναλυτικά.