Malliavin calculus for a combined stochastic partial differential equation with unbounded noise diffusion & applications

Abstract

The primary purpose of this thesis is to accomplish the combination and co-existence of mathematics in the field of physics and finance in order to approach dynamical systems guided by uncertainty. The Cahn-Hilliard/Allen-Cahn stochastic model belongs to the general category of the dynamical systems, and specifically represents an evolutionary equation of the form reaction-diffusion. Actually it is a combination of Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equation with the presence of multiplicative spacetime white noise with respect to Walsh. As a modified version of Cahn-Hilliard and Allen-Cahn expresses both the energy interactions between the particles of a surface, of the form particle/particle ,and simultaneously, the dynamics of the adsorption-desorption phenomenon of these molecules, to (adsorption)and from (desorption) the aforementioned surface, respectively. We apply Malliavin calculus on the Cahn-Hilliard/Allen-Cahn stochastic equation with unbounded noise diffusion. The path has as follows. At first we turn the differential form of Cahn-Hilliard/Allen-Cahn into a weak version. Then by using an appropriate truncated function, this weak formulation converts into a piecewise approximation, un of the solution of the Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation, u. Then applying Picard iteration scheme we prove the existence and uniqueness of un. This part indicates that the primary sequence un is well-defined and acceptable for Malliavin calculus. Equivalently, we apply the Malliavin operator on un and establish in this way it’s existence and uniqueness , i.e., the existence, uniqueness and the regularity version of the Malliavin derivative on the approximated weak formulation. Then we examine that a certain norm of this derivative is almost surely positive. This case establishes the absolute continuity of the sequence un. Then the solution (as a random variable) of Cahn-Hilliard/Allen-Cahn equation has a density, that is under some non-degeneracy condition on the noise diffusion coefficient we prove that the law of the solution un is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure on R. However, the regularity version of un indicates that uis localized well-defined and that the Malliavin operator on u holds on. Then, through convergement of un for n → ∞ the same results follow for u. The next motivation of this thesis is a part of the one phase Stefan problem. Particularly it is a one-dimensional dynamics model describing the total density of sell and buy limit orders of an asset with spread. In addition this model satisfies a stochastic Stefan problem for the Heat equation in presence of space-time white noise. Then and under the time-dependent change of variables with respect to the space-variable in the liquid phase of the model, we act on this transformed equation a reflection measure in order to constrain the function of density strictly positive. This is Stefan problem for reflected stochastic partial differential equation driven by multiplicative space-time white noise similar to Walsh. The first goal here, as a preprint paper, is to accomplish stochastic existence of global solutions of the evolution model. The second goal is to determine the financial environment illustrating by a stochastic Stefan problem for the Heat equation with space-time white noise. More precise, this equation satisfies a specific class of financial markets, that is markets structured by electronic trading platforms. In addition the financial instruments consist on the presence of noise and are available for trading through the electronic trading platforms with limit order book sense. Then the respectively market participants are those which have the goal to achieve returns by using the aforementioned financial instruments through electronic trading platforms of limit order books.

Πρωταρχικός σκοπός αυτής της διατριβής είναι ο συνδυασμός μαθηματικών τεχνικών στον τομέα τηςφυσικής και των οικονομικών για την προσέγγιση δυναμικών συστημάτων που διέπονται από αβεβαιότητα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με την πρώτηερευνητική εργασία εξ΄ αυτών. Το στοχαστικό μοντέλο Cahn-Hilliard/Allen-Cahn ανήκει στην ευρύτερηκατηγορία των δυναμικών συστημάτων και συγκεκριμένα είναι μια εξίσωση αντίδρασης-διάχυσης. Πρόκει-ται για το συνδυασμό των εξισώσεων Cahn-Hilliard και Allen-Cahn, δηλαδή με την παρουσία πολλαπλασιαστικού λευκού θορύβου ως προς τον χώρο και χρόνο. Η παραπάνω στοχαστική διαφορική εξίσωση εκφράζει την εξέλιξη τηςδιαχυτικής διαδικασίας μιας επιφάνειας ως προς τις αλληλεπιδράσεις των μορίων της (Cahn-Hilliard), καθώςκαι την διαδικασία του φαινομένου προσρόφησης-εκρόφησης προς και από την προαναφερθείσα επιφάνεια(Allen-Cahn) αντίστοιχα. Εφαρμόζουμε Malliavin calculus στην εξίσωση Cahn-Hilliard/Allen-Cahn με μη φραγμένο συντελεστή διάχυσης. Αρχικά μετα-τρέπουμε την διαφορική μορφή της εξίσωσης σε ολοκληρωτική, χρησιμοποιώντας επίσης υπολογισμούς τηςσυνάρτησης Green. Μέσω μιας κατάλληλης συνάρτησης αποκοπής η λύσητου διαφορικού μας μοντέλου, u (της οποίας η ύπαρξη και μοναδικότητα στην μία διάσταση έχει αποδειχθεί), μετατρέπεται σε τοπικοποιημένη μορφή un. ΄Επειτα χρησιμοποιώντας την μέθοδοδιαδοχικών προσεγγίσεων κατά Picard αποδεικνύουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της un, επαληθεύονταςμε αυτόν τον τρόπο και την εγκυρότητα της αρχικής επιλογής της συνάρτησης αποκοπής. ΄Ετσι, μπορούμεπλέον να εφαρμόσουμε τον τελεστή Malliavin, D, στην un και να καθιερώσουμε την ύπαρξη και μοναδι-κότητα λύσης της έκφρασης Dun. Πρόκειται για ένα σημαντικό αποτέλεσμα στην έρευνα αυτή, διότι ωςάμεση συνέπεια είναι η απόδειξη της απόλυτης συνέχειας της τοπικοποιημένης ακολουθίας un. Αυτό σημα-ίνει και ότι η λύση, u, της εξίσωσης Cahn-Hilliard/Allen-Cahn είναι απολύτως συνεχής, καθώς και ότι έχειπυκνότητα. Συγκεκριμένα αποδεικνύουμε ότι ο νόμος τόσο της un όσο και της u είναι απολύτως συνεχήςως προς το μέτρο Lebesgue στον R, και άρα έχουν πυκνότητα.Η επόμενη καινοτομία σχετίζεταιμε το πρόβλημα Stefan μιας φάσεως. Πρόκειται για ένα δυναμικό σύστημα μιας διάστασης που περιγράφειτη συνολική πυκνότητα των sell και buy limit orders ενός περιουσιακού στοιχείο υπό την ύπαρξη spread.Επίσης το παραπάνω μοντέλο ικανοποιεί το στοχαστικό πρόβλημα κατά Stefan σε συδυασμό με την εξίσωσητης θερμότητας παρουσία λευκού θορύβου ως προς χώρο και χρόνο. Επίσης μεσω κατάλληλης αλλαγήςμεταβλητών το άνωθεν μοντέλο μπορεί να μετατραπεί σε μια στοχαστικη διαφορική εξίσωση ανακλάσεως(reflected stochastic partial differential equation). Η στοχαστικότητα αυτή προέρχεται από τον θόρυβοτου Walsh. Αρχικά ο πρώτος στόχος είναι η επίτευξη της ύπαρξης ολοκληρωτικής λύσης (globalsolution) του μοντέλου μας.΄Επειτα περιγράφεται το χρηματοοικονομικό περιβάλλον που αντικατοπτρίζει η διαφορική μας εξίσωση. Δη-λαδή το γενικότερο μαθηματικό πρόβλημα που μελετάμε σε αυτην την εργασία ικανοποιεί συγκεκριμένεςχρηματοπιστωτικές αγορές. Αυτές είναι αγορές που λαμβάνουν χώρα ηλεκτρονικά διαμέσου κατάλληλωνπλατφόρμων. Επιπλέον οποιαδήποτε επένδυση πραγματοποιείται σε αυτήν την αγορά διακυβεύεται από τηνπαρουσία θορύβου στον οποίο υπόκεινται και οι αντίστοιχοι επενδυτές για την επίτευξη κέρδους.