A posteriori error analysis and optimal control for phase field equations

Abstract

First, we prove a posteriori error estimates for the Allen-Cahn equation for low-order (implicit Euler) schemes in time combined with conforming linear finite elements (conforming FEM) in space. In particular, a posteriori estimates on the natural energy norm induced by the Ginzburg-Landau functional are proved using a carefully constructed test function. We apply elliptic reconstruction techniques in combination with continuity and energy arguments and spectral estimate of the linearized Allen-Cahn operator around the discrete solution. The main result also leads to an estimate in the natural energy norm, while the error estimate requires that a dependence condition of the discretization parameters with respect to the parameter 'ε' , the interface width, is satisfied. Then, a posteriori error estimates are proved for the numerical scheme consisting of the discontinuous Galerkin method in time and the interior penalty discontinuous Galerkin method in space. The condition, which must be satisfied, exhibits equally "good" 'e'-dependence compared to the corresponding condition of the simpler fully discrete scheme. A key role in the proof of the above estimates is the use of space-time reconstruction techniques for higher order problems. The main motivation for studying this method is the potential for substantial reduction of computational complexity by making use of few but "large" general shape elements in bulk regions (regions of different phase), while strongly refined elements in the vicinity of the interface layers.Finally, a related optimal control problem was studied. In particular, a tracking functional is minimized subject to the Allen-Cahn equation using distributed controls that satisfy point-wise control constraints . Part of the thesis is to study the existence of a minimum as well as the necessary and sufficient first- and second-order conditions. The main contribution is the proof of error estimates of the difference between local optimal controls and their discrete approximations and also estimates for the differences between the corresponding state and adjoint state and their discrete approximations under the limited regularity assumptions imposed by our optimal control setting.

Αρχικά, αποδεικνύονται εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος για την εξίσωση Allen-Cahn, για σχήματα χαμηλής τάξης (implicit Euler) στον χρόνο σε συνδυασμό με σύμμορφα γραμμικά πεπερασμένα στοιχεία (conforming FEM) στο χώρο. Συγκεκριμένα, αποδεικνύονται εκ των υστέρων εκτιμήσεις στην φυσική ενεργειακή νόρμα που επάγει το συναρτησιακό Ginzburg-Landau, χρησιμοποιώντας κατάλληλη συνάρτηση δομικής. Εφαρμόζοντας τεχνικές ελλειπτικής ανακατασκευής σε συνδυασμό με επειχερήματα συνέχειας και ενεργειακά και την φασματική εκτίμηση του γραμικκοποιημένου τελεστή Allen-Cahn γύρω από την διακριτή λύση. Το κυρίως αποτέλεσμα οδηγεί επίσης σε εκτίμηση στην φυσική ενεργειακή νόρμα, ενώ η εκτίμηση σφάλματος απαιτεί να ικανοποιέιται μια συνθήκη εξάρτησης των παραμέτρων διακριτοποίησης ως προς την παράμετρο ‘ε’ , του πλάτους της διεπιφάνειας. Στη συνέχεια, αποδεικνύονται εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος για τo αριθμητικό σχήμα που αποτελείται από την ασυνεχή μέθοδο Galerkin στον χρόνο και την ασυνεχή μέθοδο Galerkin εσωτερικής ποινικοποίησης στον χώρο. Η συνθήκη, που πρέπει να ικανοποιείται, παρουσιάζει εξίσου “καλή” ‘ε’-εξάρτηση σε σύγκριση την αντίστοιχη συνθήκη του απλούστερου πλήρως διακριτού σχήματος. Κεντρικό ρόλο στην απόδειξη των παραπάνω εκτίμησεων έχει η χρήση τεχνικών χωροχρονικής ανακατασκευής για προβλήματα ανώτερης τάξης. Το βασικό κίνητρο για τη μελέτη αυτής της μεθόδου είναι οι δυνατότητες που προσφέρει για ουσιαστική μείωση της υπολογιστικής πολυπλοκότητας κάνοντας χρήση λίγων αλλά "μεγάλων" στοιχείων γενικού σχήματος σε περιοχές-συγκέντρωσεις της λύσης (περιοχές διαφορετικής φάσης), ενώ χρησιμοποιούνται έντονα εκλεπτυσμένα στοιχεία στις περιοχές γύρω από την διεπιφάνεια για την επίλυση των στρωμάτων.Τέλος, μελέτηθηκε ένα σχετιζόμενο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου. Συγκεκριμένα, εξετάστηκε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης κατάλληλου συναρτησιακού έλξης μέσω της χρήσης συνάρτησης ελέγχου τύπου κατανομής που ικανοποιεί χωρο-χρονικά σημειακά φράγματα. Μέρος της εργασίας είναι η μελέτη ύπαρξης ελαχίστου καθώς και των αναγκαίων και ικανών συνθηκών πρώτης και δεύτερης τάξης. Η κύρια συνεισφορά είναι η απόδειξη κατάλληλων εκτιμήσεων σφαλμάτων για τις μεταβλητές κατάστασης, δυϊκής, και ελέγχου, υπό τις περιορισμένες συνθήκες ομαλότητας.