Γεωμετρική επίλυση προβλημάτων δυναμικής πολλαπλών στερεών σωμάτων με αμφίπλευρους και μονόπλευρους δεσμούς κίνησης

Abstract

The purpose of this thesis is the development and implementation of a complete numerical procedure capable of predicting the dynamic response of systems consisting of Multiple Rigid Bodies. The bodies are connected with mechanical joints and can be involved in impact events, while phases of persistent contact may appear as well. This mechanical behavior is established with the addition of bilateral and unilateral motion constraints in the original set of equations of motion. First, the holonomic bilateral constraints arise from joints between the bodies, while the non-holonomic ones describe phases of rolling or sliding. The governing system of equations is presented in a pure Ordinary Differential Equation (ODE) form, contrary to the equations appearing in the literature which appear in a Differential Algebraic (DAE) form. This constitutes the essential innovation of the method and results from a geometrically consistent application of Newton’s second law of motion in the corresponding configuration space of the systems examined. The form of the equations is further exploited with the application of an appropriate temporal discretization in a three-field weak form, in which the positions, velocities and momenta of the system are treated as independent quantities. In this way, the proposed numerical scheme is constructed, which is robust, accurate and efficient compared to classical schemes used in the literature, as well as in state-of-the-art industrial codes, both using DAEs, rather than the proposed ODE form. Furthermore, the inclusion of impact events, through the addition of unilateral constraints, leads to a natural requirement for avoiding interpenetration between the geometries belonging to the bodies involved. This is accomplished through the development and implementation of a proper Return Map, which projects the system’s position back to the boundary defined by the unilateral constraint in the configuration space. In this way, the system’s pre-impact position is determined, while the post-impact velocities are calculated through the solution of the equations of motion during the short, but finite, impact’s time interval. These equations, arise from a consistent application of Newton’s second law inside a thin layer close to the boundary. The resulting equations are only three in number differential equations, which are solved separately from the rest of the system, in their own time scale, so the numerically stiff nature of an impact event is removed from the problem. The numerical integration utilizes some geometric cubic splines, specially adapted to the geometry within the boundary layer. Finally, the ideas described for the numerical handling of the unilateral and bilateral constraints are combined, aiming to develop a unified numerical algorithm capable of including phases of persistent contact in the systems examined. The algorithm is presented with the use of an appropriate flow-chart, while its proper operation is validated with some characteristic numerical examples. Numerical applications are also implemented in systems consisting purely of bilateral or unilateral constraints, as well as of a combination of these. In all cases, the advantages of the proposed methodologies in terms of accuracy, usability and innovation are highlighted.

Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η ανάπτυξη και εφαρμογή μιας ολοκληρωμένης αριθμητικής διαδικασίας, ικανής να προβλέψει την δυναμική απόκριση συστημάτων που περιλαμβάνουν Πολλαπλά Στερεά Σώματα. Τα σώματα, μπορεί να συνδέονται μεταξύ τους με αρθρώσεις ή ακόμη και να συγκρούονται, ενώ αν οι συνθήκες είναι κατάλληλες, μετά από μία κρούση τα σώματα μπορεί να παραμένουν σε επαφή. Αυτή η μηχανική συμπεριφορά, περιγράφεται μαθηματικά με τον κατάλληλο εγκιβωτισμό ορισμένων αμφίπλευρων και μονόπλευρων περιορισμών στις εξισώσεις κίνησης του συστήματος. Αρχικά, οι ολόνομοι αμφίπλευροι περιορισμοί προέρχονται από τις αρθρώσεις μεταξύ των σωμάτων, ενώ οι ανολόνομοι περιγράφουν καταστάσεις κύλισης ή ολίσθησης. Το προτεινόμενο σύστημα εξισώσεων που διέπει την δυναμική συμπεριφορά συστημάτων, τα οποία αρχικά υπόκεινται αμιγώς σε αμφίπλευρους περιορισμούς, παρουσιάζεται με φυσικό τρόπο σε μορφή Κανονικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΚΔΕ). Αντίθετα, στην διεθνή βιβλιογραφία οι αντίστοιχες εξισώσεις εμφανίζονται σε μορφή συστήματος Διαφορικών Αλγεβρικών Εξισώσεων (ΔΑΕ). Το γεγονός αυτό αποτελεί την ουσιαστική καινοτομία της μεθόδου και απορρέει από μία γεωμετρικά συνεπή εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα στον αντίστοιχο σχηματικό χώρο των εξεταζόμενων συστημάτων. Η μορφή των εξισώσεων αξιοποιείται περαιτέρω με την κατάλληλη χρονική διακριτοποίηση στην ασθενή μορφή τριπλού πεδίου, κατά την οποία η θέση, ταχύτητα και ορμή του συστήματος θεωρούνται ποσότητες ανεξάρτητες μεταξύ τους. Έτσι, αναπτύσσεται το προτεινόμενο σχήμα αριθμητικής ολοκλήρωσης που χαρακτηρίζεται από ευρωστότητα, ακρίβεια και αποδοτικότητα έναντι κλασικών σχημάτων που χρησιμοποιούνται στην βιβλιογραφία, αλλά και σε βιομηχανικούς κώδικες, με κοινό χαρακτηριστικό την εφαρμογή αποκλειστικά σε συστήματα ΔΑΕ, αντί της προτεινόμενης μορφής ΚΔΕ. Στην συνέχεια, η συμπερίληψη της δυνατότητας εμφάνισης κρούσεων, με την εισαγωγή των μονόπλευρων περιορισμών, οδηγεί σε μία φυσική απαίτηση για άρση της αμοιβαίας εισχώρησης στις γεωμετρίες των εμπλεκόμενων σωμάτων. Η διαδικασία αυτή, επιτυγχάνεται με την ανάπτυξη και εφαρμογή μίας κατάλληλης αριθμητικής διαδικασίας που ονομάζεται Αλγόριθμος Επιστροφής, που τελικά προβάλλει θέση του συστήματος πίσω στο σύνορο που δημιουργεί ο μονόπλευρος περιορισμός. Έτσι, προσδιορίζεται μονοσήμαντα η κατάσταση του συστήματος αμέσως πριν την κρούση, ενώ η αντίστοιχη κατάσταση αμέσως μετά την κρούση προσδιορίζεται με επίλυση των εξισώσεων κίνησης κατά την μικρή σε χρόνο, πλην όμως πεπερασμένη διάρκεια της κρούσης. Οι εξισώσεις αυτές, προέρχονται με εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα εντός μίας μικρής περιοχής πλησίον του συνόρου, που ονομάζεται συνοριακή στιβάδα. To προκύπτον σύστημα αποτελείται από τρεις μόνον σε πλήθος διαφορικές εξισώσεις, που επιλύονται ξεχωριστά από το υπόλοιπο σύστημα εξισώσεων, στην δική του χρονική κλίμακα και έτσι αίρεται η αριθμητικά στιβαρή φύση του φαινομένου της κρούσης. Η αριθμητική επίλυσή τους γίνεται με χρήση κατάλληλων πολυωνύμων τρίτου βαθμού, ειδικά προσαρμοσμένων στην γεωμετρία εντός της συνοριακής στιβάδας. Τέλος, οι περιγραφείσες έννοιες για τον χειρισμό των μονόπλευρων και αμφίπλευρων περιορισμών συνδυάζονται με σκοπό την κατασκευή ενός γενικευμένου αριθμητικού αλγορίθμου που περιλαμβάνει επιπλέον την δυνατότητα εμφάνισης φάσεων διαρκούς επαφής. Ο αλγόριθμος παρουσιάζεται με ένα κατάλληλο διάγραμμα ροής, η ορθή λειτουργία του οποίου επικυρώνεται μέσω αριθμητικής εφαρμογής σε επιλεγμένα μηχανικά παραδείγματα. Αριθμητικές εφαρμογές πραγματοποιούνται επίσης σε συστήματα που διαθέτουν αμιγώς αμφίπλευρους ή μονόπλευρους περιορισμούς, καθώς και συνδυασμό αυτών. Σε όλες τις περιπτώσεις, αναδεικνύονται τα πλεονεκτήματα των προτεινόμενων μεθοδολογιών αναφορικά με την ακρίβεια, χρηστικότητα και καινοτομία που αυτές παρουσιάζουν.