Development of analytical models of mixed boundary value problems for the determination of the hydrodynamic loading on solid bodies, with a focus on violent slamming of free-surface flows

Abstract

Slamming phenomena are of major concern for Naval Architects and Marine Engineers, because they can cause devastating effects if ignored. The present thesis focuses on the investigation of the impact pressures and forces exerted on a rigid body, when it is hit by a mass of water, briefly and violently. Their enormous magnitude and very short duration make the nature of the impact loads completely different from those exerted by the regular gravitational waves. The arising boundary value problems (bvp) are of mixed type and are considered within the realm of analytical solutions in marine hydrodynamics. This thesis discusses the following two problems: i) the steep wave impact on a vertical, circular cylinder and ii) the breaking wave impact on a vertical impermeable wall. The problem of a steep wave impact, i.e., a rectangular mass of water with a completely vertical wave front colliding with a cylinder violently, is considered first. This approach is taken in order to simulate the vertical wave front of a breaking wave (flip-through impact), which is considered as the worst scenario of impact. The bvp is of mixed type, given that a Neumann condition holds on the impacted part of the cylinder and a Dirichlet condition holds beyond it. The solution derived is based on the small-time approximation. This means that the impact is considered at the very early stages. The fundamental assumption of the analysis is that the instantaneous contact line is weakly dependent on the vertical coordinate. The problem is solved within the original Wagner approach in 3D. Incompressible, inviscid and irrotational flow is assumed, so that the solution sought can be determined with the aid of the velocity potential. The main results concern the instantaneous contact line and its evolution with time, the deformation of the wave front, the slamming force and the impulse exerted on the cylinder. The range of validity of the existing 2D theories of von Karman and Wagner when applied to real 3D geometries is discussed. To this end, the results derived are compared with those anticipated by the implementation of the existing 2D theories; significant differences are noticed. CFD results demonstrate the validity of the assumption of the almost vertical contact line. The second part of this thesis deals with the breaking wave impact on a vertical impermeable wall. The scrutiny on this filed is indispensable, owing to the large energy dissipation which always accompanies the wave breaking. During the collision, a small air pocket is generated between the water and the wall. Hence, an idealized, but rational model of a slightly overturning breaking wave is assumed. The bvp is of mixed type, since a Neumann condition holds on the impacted part of the wall, while a Dirichlet condition holds on the part of the wall occupied by the air. The jet formed at the upper part of the air pocket is neglected initially. Nevertheless, it is discussed sufficiently, in the last part of Chapter 3. The analysis is performed in 2D. Once again, the small-time assumption is employed. Therefore, using the time as a small parameter, a perturbation technique is applied in order to fragment the governing hydrodynamic bvp in a sequence of subproblems. Firstly, the leading order problem is solved. The method applied, demands the solution to a system of dual trigonometrical series. Results are presented for the velocity potential and the free-surface elevation. Owing to the formation of a splash at the intersection point between the still water level and the wall, a logarithmic singularity for the vertical velocity arises. To this end, the method of solution is enhanced with that by King and Needham (1993). Subsequently, the higher order problem is considered. The bvp is reduced to a novel and very challenging one-dimensional Sturm-Liouville problem with mixed conditions. The boundary conditions are far more complicated when compared to the form they are encountered usually, since they involve infinite series. Relevant problems have not been investigated in the past, at least in the field of analytical hydrodynamics associated with slamming phenomena. Interesting corrections to the leading order problem were noticed.The results of this PhD thesis highlighted the very complicated procedures occurring during water impact and enriched the existing literature of analytical solutions in slamming phenomena undoubtedly.

Τα φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από τη βίαιη πρόσκρουση ενός στερεού σώματος με έναν όγκο νερού, προκαλούν την εμφάνιση ιδιαίτερα υψηλών πιέσεων πολύ μικρής διάρκειας. Ο παλμός που θα ασκηθεί στην κατασκευή μπορεί να επιφέρει αστοχίες σε τοπικό αλλά και ευρύτερο πλαίσιο. Γι’ αυτό τον λόγο κρίνεται απαραίτητη η διεξοδική μελέτη τέτοιων φαινόμενων. Από μαθηματική σκοπιά, απαιτείται η επίλυση προβλημάτων μικτών οριακών τιμών. Αυτό προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι διαφορετικού τύπου οριακές συνθήκες πρέπει να ισχύουν σε διαφορετικά μέρη του ίδιου ορίου (ή της ίδια επιφάνειας): συνθήκη Neumann στο τμήμα του στερεού που προσβάλλεται και συνθήκη Dirichlet στο υπόλοιπο. Η μέθοδος επίλυσης των προβλημάτων σε αυτή τη διδακτορική διατριβή είναι αναλυτική. Η παρούσα διδακτορική διατριβή εστιάζει ενδελεχώς στα ακόλουθα δύο φαινόμενα: i) τη βίαιη πρόσκρουση ενός πλήρως κατακόρυφου μετώπου κυματισμού, που κινείται με σταθερή ταχύτητα προς έναν άκαμπτο, κατακόρυφο κύλινδρο κυκλικής διατομής και ii) την πρόσκρουση ενός θραυόμενου κυματισμού σε έναν κατακόρυφο, αδιαπέρατο τοίχο. Αρχικά, επιλύθηκε το πρόβλημα της βίαιης πρόσκρουσης ενός κατακόρυφου μετώπου κυματισμού με έναν κατακόρυφο κύλινδρο. Επιλέχθηκε το συγκεκριμένο στερεό, καθώς είναι γνωστό ότι οι κύλινδροι αποτελούν το βασικό κατασκευαστικό στοιχείο των υπεράκτιων πλωτών ή σταθερών κατασκευών. Το πρόβλημα επιλύεται κάνοντας την παραδοχή των μικρών χρόνων, δηλαδή εξετάζοντας το φαινόμενο αποκλειστικά στα πρώτα στάδια της πρόσκρουσης, καθώς τότε εμφανίζονται τα υψηλότερα φορτία. Κάνοντας την υπόθεση ότι η στιγμιαία γραμμή επαφής που οριοθετεί το τμήμα του κυλίνδρου που προσβάλλεται από το νερό είναι σχεδόν κατακόρυφη (μία υπόθεση που αποδεικνύεται και από αριθμητικά αποτελέσματα CFD) λύνουμε το πρόβλημα στο πλαίσιο της κλασική θεωρίας του Wagner, ωστόσο σε 3D. Υποθέτοντας ασυμπίεστη, μη συνεκτική και αστρόβιλη ροή, επιλύουμε το πρόβλημα με τη βοήθεια του δυναμικού ταχύτητας. Εξάγονται αποτελέσματα για την στιγμιαία γραμμή επαφής, την παραμόρφωση του μετώπου του κυματισμού μετά την πρόσκρουση, τη δύναμη και τέλος τον παλμό που θα ασκηθούν στον κύλινδρο. Συγκρίνονται τα αποτελέσματα με αυτά που προβλέπονται από τις υπάρχουσες θεωρίες των Wagner και von Karman στο 2D πεδίο και καταγράφονται οι διαφορές. Το δεύτερο φαινόμενο το οποίο μελετήθηκε είναι αυτό της βίαιης πρόσκρουσης ενός θραυόμενου κυματισμού σε έναν κατακόρυφο, αδιαπέρατο τοίχο. Γι’ αυτό τον λόγο υποτέθηκε ένα ελαφρώς κεκλιμένο μέτωπο θραυόμενου κυματισμού, το οποίο εγκλωβίζει έναν μικρό θύλακα αέρα, στον οποίο υποθέτουμε ότι υπάρχει κενό. Η επίλυση του προβλήματος βασίζεται και πάλι στην παραδοχή των μικρών χρόνων. Ορίζοντας σαν μικρή παράμετρο του προβλήματος το χρόνο, χρησιμοποιούμε την μέθοδο των διαταραχών χωρίζοντας το κυρίως υδροδυναμικό πρόβλημα σε επιμέρους, διαφορετικής τάξης (ως προς το χρόνο) υπο-προβλήματα. Αρχικά επιλύεται το πρωτοτάξιο πρόβλημα. Εξάγονται αποτελέσματα για i) το δυναμικό της ταχύτητας και κατ’ επέκταση για την πίεση πάνω στον τοίχο για διάφορα μεγέθη του θύλακα του αέρα και ii) την ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας μετά την πρόσκρουση. Σε αυτό το σημείο, πρέπει να τονιστεί ο απειρισμός της κατακόρυφης ταχύτητας του νερού, λόγω της εμφάνισης ενός πίδακα στο σημείο τομής της αδιατάρακτης επιφάνειας του νερού με τον τοίχο. Γι’ αυτόν τον λόγο απαιτείται μία ασυμπτωτική ανάλυση στη γειτονία αυτού του σημείου. Προς αυτή την κατεύθυνση, αξιοποιείται μία παλαιότερη δημοσίευση των King and Needham (1993). Σε συνέχεια της προηγούμενης ανάλυσης, επιλύεται το τριτοτάξιο πρόβλημα, το οποίο εκφράζει επί της ουσίας πιο αργά μεταβαλλόμενα μεγέθη. Η επίλυση του προβλήματος μικτών οριακών τιμών ανάγεται στην επίλυση ενός προβλήματος Sturm-Liouville, μικτών οριακών συνθηκών. Η διαφορά σε σχέση με αντίστοιχα προβλήματα έγκειται στην μορφή των οριακών συνθηκών, οι οποίες περιλαμβάνουν απειροσειρές. Τέτοιου είδους προβλήματα δεν έχουν μελετηθεί μέχρι τώρα σε φαινόμενα υδροδυναμικής που σχετίζονται με αναλυτικές επιλύσεις προβλημάτων βίαιης πρόσκρουσης μεταξύ ενός στερεού και ενός όγκου νερού.Εν κατακλείδι, η παρούσα διδακτορική διατριβή συνεισφέρει αδιαμφισβήτητα, σε ερευνητικό επίπεδο, στην υπάρχουσα έρευνα σε αυτό το σπουδαίο αντικείμενο της Ναυπηγικής καθώς και στην μαθηματική βιβλιογραφία που αφορά προβλήματα Sturm-Liouville.