Rarefied gas pipe network analysis via kinetic theory

Abstract

Steady-state isothermal rarefied gas flows in long circular channels have been extensively investigated via linear kinetic theory since 1960s, implementing various semi-analytical and numerical schemes. It is noted that linear kinetic modeling is applicable, when the local pressure gradient along the tube is small. This condition is satisfied in the case of long tubes (e.g. the ratio of the length over the radius to be approximately larger than 100), resulting to a low speed isothermal flow even if the overall difference between the inlet and outlet pressure is large. Overall it has been demonstrated that for rarefied gas flows in long channels, linear kinetic modeling, as described by suitable kinetic model equations, may take advantage of all flow characteristics and properties and yield very accurate results in the whole range of the Knudsen number with minimal computational effort. In many applications however, the rarefied gaseous distribution system consists not only of a single channel but of many channels accordingly combined to form a network. Such distribution systems are commonly found in several technological fields including vacuum pumping, metrology, industrial aerosol, porous media, and micro-fluidics. It is pointed out that computational algorithms dedicated to the design of gas pipe networks (e.g., compressed air, natural gas, etc.) in the viscous regime are well developed while corresponding tools for the design of gaseous pipe networks operating under any (e.g. low, medium and high) vacuum conditions are very limited.In order to achieve this, kinetic results obtained for the rarefied flow through each tube of the network are successfully integrated into a typical network algorithm solving the whole distribution system. In particular, for channels with L/Dh>50, where L is the length and Dh the hydraulic diameter, the channel is considered as long and the available kinetic conductance results based on the theory of the infinite long channels are applied. For channels of moderate length 50>L/Dh>5, the end correction theory is introduced. This theory has been recently successfully implemented to define the fictitious increment length which must be added to the channel length in order to provide accurate results for the conductance by taking into account the channel end effects. Thus, the kinetic data base has been enriched with the values of the increment length in terms of the gas rarefaction. Finally, for short channels, i.e. L/Dh<5, the above theory is not valid and depending on the local pressure gradient, extensive simulations based on either linear or non-linear kinetic theory have been performed to provide a complete set of results for the channel conductance in terms of gas rarefaction, pressure difference and channel length. These simulations are computationally very expensive. The complete data base consists of a very dense grid to allow accurate representation of the operational conditions of an arbitrary gas pipe network. Interpolation between the available data points is performed by cubic splines for the flow rates in the case of long channels, by high order curve fitting for the increment lengths for the case of channels of moderate length and trilinear interpolation for the flow rate in terms of the pressure, length and rarefaction in the case of short channels. Next, the enriched data base has been successfully integrated into the network algorithm which is build to cover distribution systems consisting of channels of any length. The developed Algorithm for Rarefied gas flow in Arbitrary Distribution Networks (ARIADNE) includes first the drawing of the network in a graphical environment and then the formulation and solution of the governing equations describing the flow conditions of the distribution system. In the drawing process of the network, the user, through the developed graphical interface, is capable of providing the input data including the coordinates of the nodes in a 3D space, the length and the diameter of the pipe elements, the pressure heads of the fixed-grade nodes and information for the type of the gas and its properties. Even more, the demands (if any) at the nodes may also be provided. Once the geometry of the network is fixed, an iterative process is initiated between the pressure drop equations and the system of mass and energy conservation equations in order to successfully handle gas pipe networks operating from the free molecular, through the transition up to the slip and hydrodynamic regimes. The feasibility and the effectiveness of the developed algorithm is tested by simulating various distribution systems in the hydrodynamic regime and comparing the corresponding results with the ones derived by the typical hydrodynamic solver reporting excellent agreement in terms of the mass flow rate (and the conductance) through the pipes as well as the pressure heads at the nodes of the network. Further more, some preliminary comparisons with ITERVAC, (which is a computational tool for the estimation of the mass flow through ducts at isothermal conditions in a wide flow regime, however, it is based mainly on empirical expressions), for networks consisting of long channels resulted to very good agreement between the two approaches. It is hoped that the present work will constitute a significant part of a more general algorithm which will be used as a significant engineering tool in the design and optimization of gaseous distribution networks operating under any rarefied conditions.

Το θέμα της παρούσας διδακτορικής διατριβής εστιάζει στην ανάπτυξη ενός αλγορίθμου προσομοίωσης δικτύων αερίων υπό αραιοποιημένες συνθήκες μέσω κινητικής θεωρίας. Η περιοχή αυτή είναι γνωστή σαν αραιοποιημένη αεριοδυναμική (rarefied gas dynamics) με πολλές τεχνολογικές εφαρμογές εκ των οποίων τα μικρο-ηλεκτρομηχανολογικά συστήματα και η τεχνολογία κενού να είναι αυτές που εξελίσσονται με πολύ γρήγορους ρυθμούς. Σημειώνεται ότι ενώ στο συνεχές όριο, υπολογιστικά πακέτα (αλγόριθμοι) σχεδιασμού δικτύων σωληνώσεων (όπως δίκτυα συμπιεσμένου αέρα ή φυσικού αερίου, κτλ.) είναι ευρέως διαδεδομένα, αντίστοιχα υπολογιστικά εργαλεία για το σχεδιασμό δικτύων σε συνθήκες χαμηλής πίεσης (υψηλού, μέτριου ή χαμηλού κενού) είναι αρκετά περιορισμένα. Αξιοποιώντας την πολύχρονη εμπειρία του Eργαστηρίου Φυσικών & Χημικών Διεργασιών σε αριθμητικές μεθόδους μεσοκλίμακας, στο πλαίσιο της διατριβής αναπτύσσεται και εφαρμόζεται σύνθετο λογισμικό προσομοίωσης κυκλοφορίας αραιοποιημένων αερίων σε δίκτυα σωληνώσεων σε όλο το εύρος του αριθμού Knudsen. Για την υλοποίηση αυτού του εγχειρήματος δημιουργείται εκτενής βάση δεδομένων για πλήρως ανεπτυγμένες και αναπτυσσόμενες ροές μέσα από αγωγούς μεγάλου, μεσαίου και μικρού μήκους, συμπεριλαμβανομένων των φαινομένων εισόδου/εξόδου στα άκρα των αγωγών. Αυτό επιτυγχάνεται επιλύοντας κινητικές εξισώσεις με αναβαθμισμένους και παράλληλους αλγορίθμους διακριτών μοριακών ταχυτήτων, ενώ η χρήση του λογισμικού υποβοηθείται από ένα γραφικό περιβάλλον το οποίο αναπτύχθηκε για το σκοπό αυτό. Η τελική μορφή του αλγορίθμου αποτελείται από α) την εισαγωγή των γεωμετρικών χαρακτηριστικών και λειτουργικών χαρακτηριστικών του δικτύου προς επίλυση, β) τον ορισμό των βρόχων και των ψευδο-βρόχων, γ) τη διαμόρφωση και επίλυση των εξισώσεων διατήρησης μάζας και ενέργειας, δ) τη βάση δεδομένων που έχει προκύψει από αποτελέσματα κινητικών εξισώσεων και χρησιμοποιείται για την επίλυση των εξισώσεων διατήρησης και ε) τα αποτελέσματα του αλγορίθμου τα οποία αναφέρονται σε τιμές πίεσης στους κόμβους του δικτύου καθώς και σε τιμές μαζικής και ογκομετρικής παροχής μέσα από τις σωληνώσεις του δικτύου. Πιο συγκεκριμένα, το σύστημα των εξισώσεων το οποίο περιγράφει το δίκτυο αποτελείται από τις εξισώσεις πτώσης πίεσης σε κάθε έναν από τους αγωγούς του δικτύου σε συνδυασμό με τις εξισώσεις διατήρησης μάζας σε κάθε έναν από τους κόμβους του δικτύου. Στην περίπτωση που το δίκτυο είναι πλήρως ορισμένο, οι εξισώσεις πτώσης πίεσης ανάγονται σε ισοζύγια ενέργειας ανάμεσα στους κλειστούς βρόχους του δικτύου και τους ψευδο-βρόχους που ενώνουν κόμβους γνωστών ιδιοτήτων (π.χ. γνωστές τιμές πίεσης). Το σύστημα των εξισώσεων λύνεται επαναληπτικά έχοντας ως άγνωστο τις τιμές των παροχών υποθέτοντας αρχικά τις τιμές των πιέσεων στους κόμβους του δικτύου, όπου αυτές δεν είναι από την αρχή γνωστές. Σε κάθε βήμα, μετά την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων, οι τιμές των πιέσεων ανανεώνονται σύμφωνα με τις τιμές της αδιάστατης παροχής κάνοντας χρήση των σχέσεων πτώσης πίεσης για κάθε έναν από τους αγωγούς του δικτύου. Τα βήματα αυτά αποτελούν τον πυρήνα μιας επαναληπτικής διαδικασίας η οποία τερματίζεται με την ικανοποίηση του κριτηρίου σύγκλισης το οποίο εφαρμόζεται στις τιμές των πιέσεων στους κόμβους. Το υπολογιστικό πακέτο φέρει το όνομα ARIADNE (Algorithm for Rarefied gas flow in Arbitrary Distribution Networks). Η αποτελεσματικότητα και η ακρίβεια του αλγορίθμου ελέγχθηκε με την προσομοίωση διαφόρων δικτύων σωληνώσεων στο υδροδυναμικό όριο, συγκρίνοντας τα αποτελέσματα με αντίστοιχα που προκύπτουν από τυπικό αλγόριθμο που βασίζεται στις υδροδυναμικές εξισώσεις επιστρέφοντας πολύ καλή συμφωνία τόσο στις παροχές των αγωγών, όσο και στις πιέσεις των κόμβων του δικτύου. Επιπλέον, στην ελεύθερη μοριακή περιοχή και στην μεταβατική πραγματοποιήθηκαν συγκρίσεις με το λογισμικό ITERVAC, το οποίο είναι ένας ημι-εμπειρικός αλγόριθμος, επιστρέφοντας πολύ καλή συμφωνία. Τέλος, το λογισμικό εφαρμόστηκε στην επίλυση δικτύων που προσεγγίζουν το σύστημα άντλησης αερίων του αντιδραστήρα σύντηξης ITER. Με βάση τα παραπάνω η παρούσα διδακτορική διατριβή αναμένεται να αποτελέσει τον πυρήνα ενός γενικότερου αλγορίθμου για τη μελέτη ροών αερίων σε δίκτυα σωληνώσεων σε όλο το εύρος αραιοποίησης.