Cauchy type integrals

Abstract

In this work we present several results concerning mostly applications of Baire’s Category theorem in Complex Analysis in one and in several complex variables. An important problem in complex analysis is whether there exists a holomorphic function f, in a given open set Ω in C^n , which is singular at every boundary point of Ω. Also the problem of constructing singular functions with specific properties – for example satisfying certain growth conditions near the boundary or having certain smoothness upto the boundary – has been studied in various directions. In this work we will show – under certain restrictions on the open set – that the set of the OL^p (holomorphic and L^p with respect to Lebesgue measure) and H^p (holomorphic and H^p with respect to the Euclidean surface area measure on the sphere ), 1 ≤ p ≤∞ , functions in Ω and B , which are totally unbounded, is dense and Gδ in the space OL ^ p (Ω) and H ^ p(B) respectively. In fact we work mostly with the spaces ∩OL^p(Ω),p<q and ∩H^p(Ω),p<q endowed with its natural topology.

Σε αυτήν την εργασία παρουσιάζουμε αρκετά αποτελέσματα που αφορούν κυρίως εφαρμογές του θεώρηματος της Κατηγορίας του Baire στη μιγαδική ανάλυση σε μία και στις πολλές μιγαδικές μεταβλητές. Ένα σημαντικό πρόβλημα στη μιγαδική ανάλυση είναι εάν υπάρχει μια ολόμορφη συνάρτηση f, σε ένα δεδομένο ανοιχτό σύνολο Ω σε C ^ n, η οποία είναι singular σε κάθε οριακό σημείο Ω. Επίσης, μελετήθηκε σε διάφορες κατευθύνσεις το πρόβλημα κατασκευής singular συναρτήσεων με συγκεκριμένες ιδιότητες - για παράδειγμα ικανοποίηση συγκεκριμένων συνθηκών ανάπτυξης κοντά στο σύνορο ή ορισμένης ομαλότητας μέχρι το σύνορο. Στη διατριβή αυτή δείχνουμε ότι - κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς στο ανοιχτό σύνολο - ότι το σύνολο των OL ^ p (ολόμορφη και L ^ p σε σχέση με το μέτρο Lebesgue) και H ^ p (ολόμορφη και H ^ p σε σχέση με το Ευκλείδειο επιφανειακό μέτρο στη σφαίρα), 1 ≤ p ≤∞, συναρτήσεων σε Ω και Β, οι οποίες είναι ολικά μη φραγμένες, είναι πυκνό και Gδ στο χώρο OL ^ p (Ω) και H ^ p(B) αντίστοιχα. Στην πραγματικότητα δουλεύουμε κυρίως με τους χώρους ∩OL ^ p (Ω), p <q και ∩H ^ p (Ω), p <q εφοδιασμένοι με τη φυσική τους τοπολογία.