Εντοπισμός Anderson και τοπολογικά φαινόμενα σε συστήματα πολλών σωματίων με αταξία

Abstract

The work in this thesis primarily adresses the effect of disorder in certain condensed matter systems. Disorder itself leads to the phenomenon of Anderson localization where the wavefunction due to disorder is confined in a finite region of space characterized by an exponential decay of its amplitude. First, we study the midgap state at energy E=0 in a lattice with hopping disorder in one and two dimensions. Using the well established methods of energy and wavefunction statistics, we show an even-odd system size asymmetry and the multifractal behavior of the special E=0 state. Second, we examine the doubly degenerate Majorana states at E=0 for the case of a topological superconductor in one dimension. In the absence of disorder, the two states are localized at the two ends of the chain. We ask how the disorder affects their behavior for this kind of system proposed for quantum computation. In the presence of disorder, a spreading of the Majorana states in the lattice occurs. Third, we show the interplay of disorder and interactions in a many-body system, namely the quantum XXZ Heisenberg anti-ferromagnet. The motivation is to study how disorder leads to the phenomenon of Many-Body Localization. The energy level statistics shows a distinction between an ergodic and a many-body localized phase and the eigenstate statistics reveals a multifractal behavior near the critical regime. For strong disorder the many-body localized states can be used as potential quantum memories. The significance of this work is that the ubiquitous presence of disorder in quantum systems has not always a negative impact and can lead to a better manipulation of quantum information.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή ασχολείται κυρίως με την επίδραση της αταξίας σε συγκεκριμένα συστήματα της Φυσικής Συμπυκνωμένης ‘Υλης. Η ισχυρή αταξία οδηγεί στο φαινόμενο του εντοπισμού Anderson όπου η κυματοσυνάρτηση περιορίζεται σε μία πεπερασμένη περιοχή του χώρου και χαρακτηρίζεται από εκθετική μείωση του πλάτους της. Πρώτον, μελετήθηκε η κατάσταση με ενέργεια Ε=0 σε ένα πλέγμα παρουσία αταξίας στους δεσμούς μεταξύ των ατόμων στη μία και στις δύο διαστάσεις. Με χρήση καθιερωμένων μεθόδων για τη στατιστική των ενεργειών και των καταστάσεων δείχνουμε μία άρτια-περιττή ασυμμετρία για το μέγεθος του συστήματος Ν και μία πολυμορφοκλασματική (multifractal) συμπεριφορά της ειδικής κατάστασης για ενέργεια Ε=0. Δεύτερον, εξετάζουμε το διπλό εκφυλισμό της ενέργειας Ε=0 και τις δύο καταστάσεις Majorana στην περίπτωση ενός τοπολογικού υπεραγωγού στη μία διάσταση. Απουσία αταξίας οι δύο καταστάσεις Majorana είναι εντοπισμένες στα δύο άκρα του μονοδιάστατου συστήματος. Στη συνέχεια μελετήθηκε η επίδραση της αταξίας στο συγκεκριμένο σύστημα που έχει προταθεί για χρήση σε κβαντικούς υπολογιστές. Παρουσία αταξίας εμφανίστηκε μία επέκταση των καταστάσεων στο εσωτερικό του συστήματος. Τρίτον, δείχνουμε το συνδυασμό αταξίας και αλληλεπιδράσεων σε ένα σύστημα πολλών σωματίων και συγκεκριμένα στον κβαντικό ΧΧΖ αντι-σιδηρομαγνήτη Heisenberg. Το βασικό κίνητρο στο πρόβλημα αυτό είναι να μελετηθεί με ποιο τρόπο η παρουσία αταξίας οδηγεί στο φαινόμενο του Εντοπισμού Πολλών Σωματίων (ή Many-Body Localization). Η στατιστική των ενεργειών έδειξε έναν διαχωρισμό μεταξύ μίας εργοδικής φάσης και μίας many-body εντοπισμένης φάσης. Η στατιστική των καταστάσεων φανέρωσε μια πολυμορφοκλασματική συμπεριφορά κοντά στην κρίσιμη περιοχή. Για ισχυρή αταξία, οι many-body εντοπισμένες καταστάσεις μπορούν δυνητικά να χρησιμοποιηθούν για κβαντικές μνήμες. Η σημασία αυτής της εργασίας είναι πως η παρουσία αταξίας στα κβαντικά συστήματα δεν έχει πάντα μία αρνητική επίδραση και μπορεί ενδεχομένως να οδηγήσει σε καλύτερη διαχείριση της κβαντικής πληροφορίας.