Rigidity and deformability of immersed submanifolds

Abstract

We study the Bonnet problem for surfaces in 4-dimensional space forms Q4c . Two isometric surfaces are said to have the same mean curvature if there exists a parallel vector bundle isometry between their normal bundles that preserves the mean curvature vector fields. Noncongruent surfaces with the same mean curvature are called Bonnet mates. A surface in Q4c is called a Bonnet, or a proper Bonnet surface, if it admits either at least one, or infinitely many Bonnet mates, respectively. We introduce the notions of isotropically isothermic and strongly isotropically isothermic surfaces in Q4c as a generalization of the notion of isothermic surfaces in Q3c and we show that isotropic isothermicity is a conformally invariant property. We show that if a non-compact simply connected surface f : M → Q4c is not proper Bonnet, then it admits either at most one Bonnet mate, or exactly three. If such a surface is proper Bonnet, then the moduli space M(f) of congruence classes of all isometric immersions of M into Q4c that have the same mean curvature with f, is diffeomorphic to a manifold. Proper Bonnet surfaces are distinguished in two categories: the tight surfaces whose moduli space is 1-dimensional with at most two connected components diffeomorphic to S1 ≃ R/2πZ, and the flexible ones whose moduli space is diffeomorphic to the torus S1 × S1. We prove that isotropic isothermicity characterizes proper Bonnet surfaces and in particular, strong isotropic isothermicity characterizes the flexible surfaces. Moreover, we show that a half totally non isotropically isothermic surface is always a Bonnet surface which in particular, admits exactly three Bonnet mates if it is furthermore strongly totally non isotropically isothermic. We also prove that a Bonnet surface lying in a totally geodesic hypersurface of Q4c with non-constant mean curvature, admits at least two Bonnet mates that do not lie in any totally umbilical hypersurface of Q4c. We prove that if both Gauss lifts of a compact surface to the twistor bundle are not vertically harmonic, then the surface admits at most three Bonnet mates. In particular, we show that such a surface admits at most one Bonnet mate, under additional assumptions involving isotropic isothermicity. We show that non-minimal surfaces with a vertically harmonic Gauss lift possess a holomorphic quadratic differential, yielding thus a Hopf-type theorem. We prove that such surfaces allow locally a 1-parameter family of isometric deformations with the same mean curvature. This family is trivial only if the surface is superconformal. For such compact surfaces with non-parallel mean curvature, we prove that the moduli space is the disjoint union of two sets, each one being either finite, or a circle. In particular, for surfaces in R4 we prove that the moduli space is a finite set, under a condition on the Euler numbers of the tangent and normal bundles.

Μελετάμε το πρόβλημα Bonnet για επιφάνειες σε τετραδιάστατους χώρους μορφής Q4c. Δύο ισομετρικές επιφάνειες λέγεται ότι έχουν την ίδια μέση καμπυλότητα, εάν υπάρχει μια παράλληλη ισομετρία διανυσματικών δεσμών μεταξύ των καθέτων δεσμών τους, η οποία διατηρεί τα διανυσματικά πεδία μέσης καμπυλότητας. Μη γεωμετρικά ισότιμες επιφάνειες με την ίδια μέση καμπυλότητα καλούνται Bonnet mates. Μια επιφάνεια στον Q4c καλείται επιφάνεια Bonnet, ή γνήσια επιφάνεια Bonnet, εάν δέχεται τουλάχιστον μία, ή άπειρες το πλήθος Bonnet mates, αντίστοιχα. Εισάγουμε τις έννοιες των ισοτροπικά ισοθερμικών και ισχυρά ισοτροπικά ισοθερμικών επιφανειών στον Q4c , ως γενίκευση της έννοιας των ισοθερμικών επιφανειών στον Q3c και αποδεικνύουμε ότι η ισοτροπική ισοθερμικότητα είναι μια σύμμορφα αναλλοίωτη ιδιότητα. Αποδεικνύουμε ότι εάν μια μη-συμπαγής, απλά συνεκτική επιφάνεια f : M → Q4c δεν είναι γνήσια επιφάνεια Bonnet, τότε δέχεται είτε το πολύ μία, είτε ακριβώς τρεις Bonnet mates. Εάν μια τέτοια επιφάνεια είναι γνήσια επιφάνεια Bonnet, τότε ο moduli space των κλάσεων γεωμετρικής ισοτιμίας όλων των ισομετρικών εμβαπτίσεων του M στον Q4c που έχουν την ίδια μέση καμπυλότητα με την f, είναι διαφορομορφικός με ένα πολύπτυγμα. Οι γνήσιες επιφάνειες Bonnet χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τις tight επιφάνειες που ο moduli space είναι μονοδιάστατος με το πολύ δύο συνεκτικές συνιστώσες διαφορομορφικές με τον κύκλο S1 ≃ R/2πZ, και τις flexible επιφάνειες που ο moduli space είναι διαφορομορφικός με τον τόρο S1 × S1. Αποδεικνύουμε ότι η ισοτροπική ισοθερμικότητα χαρακτηρίζει τις γνήσιες επιφάνειες Bonnet και ειδικότερα, η ισχυρή ισοτροπική ισοθερμικότητα, χαρακτηρίζει τις flexible επιφάνειες. Επιπλέον, δείχνουμε ότι μια ολικά μη ημι-ισοτροπικά ισοθερμική επιφάνεια είναι πάντα μια επιφάνεια Bonnet η οποία ειδικότερα, δέχεται ακριβώς τρεις Bonnet mates αν είναι επιπροσθέτως ισχυρά ολικά μη ισοτροπικά ισοθερμική. Επίσης, αποδεικνύουμε ότι μια επιφάνεια Bonnet που κείται σε ολικά γεωδαισιακή υπερεπιφάνεια του Q4c με μη-σταθερή μέση καμπυλότητα, δέχεται τουλάχιστον δύο Bonnet mates οι οποίες δεν κείνται σε καμία ολικά ομφαλική υπερεπιφάνεια του Q4c. Αποδεικνύουμε ότι αν και τα δύο Gauss lifts μιας συμπαγούς επιφάνειας στην twistor bundle δεν είναι vertically harmonic, τότε η επιφάνεια δέχεται το πολύ τρεις Bonnet mates. Ειδικότερα, δείχνουμε ότι μια τέτοια επιφάνεια δέχεται το πολύ μία Bonnet mate, υπό πρόσθετες υποθέσεις που αφορούν την ισοτροπική ισοθερμικότητα. Δείχνουμε ότι οι μη-ελαχιστικές επιφάνειες με ένα vertically harmonic Gauss lift δέχον- ται ένα ολόμορφο τετραγωνικό διαφορικό, κι έτσι προκύπτει ένα θεώρημα τύπου Hopf. Αποδεικνύουμε ότι τέτοιες επιφάνειες δέχονται τοπικά μια μονοπαραμετρική οικογένεια ισομετρικών παραμορφώσεων που διατηρούν τη μέση καμπυλότητα. Η οικογένεια αυτή είναι τετριμμένη μόνο εάν η επιφάνεια είναι superconformal. Για τέτοιες συμπαγείς επιφάνειες με μη-παράλληλο διανυσματικό πεδίο μέσης καμπυλότητας, αποδεικνύουμε ότι ο moduli space είναι η ξένη ένωση δύο συνόλων, το καθένα από τα οποία είναι είτε πεπερασμένο είτε ο κύκλος. Ειδικότερα, για επιφάνειες στον R4 αποδεικνύουμε ότι ο moduli space είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, υπό μία συνθήκη για τους αριθμούς Euler της εφαπτόμενης και της κάθετης δέσμης.