Συμβολή στη δειγματοληπτική ανάδειξη μοντέλων κατανομών με χρήση του συντελεστή μεταβλητότητας

Abstract

The aim of the present thesis is the examination of the behaviour of the Coefficient of Variation and its contribution to emerging distribution models via Sampling. The first two chapters describe what is known so far and review previous work done in the domain of the thesis. More precisely, the introductory chapter gives some definitions of basic concepts, which are needed as a basis for the subsequent chapters. The second chapter describes the concept of the Coefficient of Variation and its properties. Confidence intervals are presented based on the type of distribution and appropriate statistical hypothesis tests are given. The concepts of the Weighted Coefficient of Variation and the Multivariate Coefficient of Variation are also described, as well as unbiased estimators of the Coefficient of Variation. At the end of the chapter, we present some uses of the Coefficient of Variation and the Weighted Coefficient of Variation in various scientific fields. The following chapters are the originality of the thesis. A new function of polynomial form is introduced in the distribution theory, with a real number ν as a degree, which is calculated solely from the sample Coefficient of Variation. That new function, based on data distribution, has a specific formula and type, which can be either symmetric, ascending or descending type and approximates known or unknown distributions or emerges new ones. Moreover, the parallel theoretical and sampling study leads to the emergence of the correct or more nearly correct model of a distribution. Given that the degree obeys specific restrictions, which lead to a restricted Coefficient of Variation, information for the coefficient of variation is obtained of the distributions approximated by the new function. The values of the Coefficient of Variation are of great interest to researchers, who will identify the type of distribution via sampling and therefore will know the expected value of the Coefficient of Variation. If the value of the sample Coefficient of Variation moves away from the expected value, then the researcher should give an answer to this and draw conclusions depending on his scientific field. In the chapters 3, 4 and 5, the polynomial approach of the probability density functions (pdf) of symmetric type, ascending form and descending type, respectively, of a continuous random variable X, is attempted. The sixth chapter is devoted entirely to the contribution of the Coefficient of Variation to emerging distribution models via Sampling. Special forms of functions are described and representative examples are displayed. In the seventh chapter, a brief reference is made to the case of the discrete random variable X and we provide the answer to the question whether or not the sample Coefficient of Variation is a good estimator of the population Coefficient of Variation

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή γίνεται μελέτη της συμπεριφοράς του συντελεστή μεταβλητότητας και της συμβολής του στην ανάδειξη μοντέλων κατανομών μέσα από δειγματοληψία. Στα δύο πρώτα κεφάλαια γίνεται αναφορά στα μέχρι τώρα ισχύοντα. Αναλυτικότερα, στο πρώτο, εισαγωγικό, κεφάλαιο δίνονται κάποιες βασικές έννοιες και ορισμοί που είναι χρήσιμα για την κατανόηση όσων παρουσιάζονται στα επόμενα κεφάλαια. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφεται η έννοια του συντελεστή μεταβλητότητας και οι ιδιότητες του. Δίνονται διαστήματα εμπιστοσύνης ανά είδος κατανομής και κατάλληλοι έλεγχοι υποθέσεων. Παρουσιάζονται, επίσης, η έννοια του σταθμισμένου συντελεστή μεταβλητότητας και του συντελεστή μεταβλητότητας πολλών μεταβλητών, καθώς και αμερόληπτοι εκτιμητές του συντελεστή μεταβλητότητας. Στο τέλος του κεφαλαίου, παρουσιάζονται ενδεικτικές εφαρμογές του συντελεστή μεταβλητότητας και του σταθμισμένου συντελεστή μεταβλητότητας σε διάφορα επιστημονικά πεδία. Τα επόμενα κεφάλαια αποτελούν την πρωτοτυπία της παρούσας διατριβής. Στο χώρο των κατανομών υπεισέρχεται μια νέα συνάρτηση πολυωνυμικής μορφής με εκθέτη πραγματικό αριθμό ν, ο οποίος υπολογίζεται αποκλειστικά από τον συντελεστή μεταβλητότητας δειγματοληπτικών δεδομένων. Η νέα συνάρτηση, ανάλογα με την κατανομή που εκφράζει, έχει συγκεκριμένο τύπο και μορφή, η οποία μπορεί να είναι συμμετρική, αύξουσα ή φθίνουσα και επί πλέον προσεγγίζει γνωστές ή άγνωστες κατανομές ή αναδεικνύει νέες. Επιπλέον, η παράλληλη θεωρητική και δειγματοληπτική μελέτη οδηγεί στην ανάδειξη του καλύτερου μοντέλου μιας κατανομής. Δεδομένου ότι ο εκθέτης ν υπακούει κάθε φορά σε περιορισμούς, οι οποίοι με τη σειρά τους οδηγούν σε περιορισμούς για τον συντελεστή μεταβλητότητας, μέσω των προσεγγίσεων, «αντλούνται» πληροφορίες για το συντελεστή μεταβλητότητας των κατανομών που προσεγγίζει η νέα συνάρτηση. Οι τιμές που παίρνει ο συντελεστής μεταβλητότητας ενδιαφέρουν τον εκάστοτε ερευνητή, ο οποίος, μέσω δειγματοληψίας, θα εντοπίσει τη μορφή της κατανομής και επομένως, θα γνωρίζει την αναμενόμενη τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας. Αν η δειγματοληπτική τιμή απομακρύνεται από την αναμενόμενη, τότε αυτό θα προβληματίσει τον ερευνητή και θα τον οδηγήσει σε συμπεράσματα και αποφάσεις, ανάλογα με το επιστημονικό του πεδίο. Στα κεφάλαια 3, 4 και 5 επιχειρείται η πολυωνυμική προσέγγιση συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) συμμετρικής, αύξουσας και φθίνουσας μορφής, αντίστοιχα, συνεχούς τ.μ. Χ. Το έκτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο εξολοκλήρου στη συμβολή του συντελεστή μεταβλητότητας στην ανάδειξη μοντέλων κατανομών μέσα από δειγματοληψία. Περιγράφονται ειδικές μορφές συναρτήσεων και δίνονται παραδείγματα για την πληρέστερη κατανόησή τους. Στο έβδομο κεφάλαιο γίνεται μία σύντομη αναφορά στην περίπτωση της διακριτής τ.μ. Χ και δίνεται απάντηση στο ερώτημα εάν ο δειγματικός συντελεστής μεταβλητότητας είναι «καλός» εκτιμητής του πληθυσμιακού συντελεστή μεταβλητότητας. Στο όγδοο κεφάλαιο γίνεται συζήτηση των αποτελεσμάτων, παρουσιάζονται τα συμπεράσματα της παρούσας διατριβής και γίνονται προτάσεις για περαιτέρω έρευνα.