Μελέτη της εξάρτησης τυχαίων μεταβλητών στην ανανεωτική θεωρία, με εφαρμογές σε τυχαίους περιπάτους

Abstract

Chapter 1 makes reference to certain results in renewal theory herein used asprimary tools for completion of this thesis. Studying the renewal function and creating bounds for this quantity are in the coreof renewal theory studies. Improvements of these bounds are discussed in Chapter 2. The number of renewals occurring within a period (t, t + x) is a quantityof special interest in renewal theory. The bounds presented for this quantity in Chapter 2 serve to improve the already existing ones. Chapter 9 studies these same quantities in a more generic application context,namely for random walks. As the number of renewals occurring within a period (t, t+x) is linked to the righttail of the remaining life, it makes sense to study the right tail of the remaininglife as well as the joint right tail of the current and the remaining life. We use right tails to study the higher moments for those times studied by renewaltheory, which we in turn discuss in Chapter 7. The formulae given in this chapterenable us to calculate the moments of the recurrence times in any class and tocreate bounds under specific distribution classes. These results are then used in the context of random walks as discussed in Chapter8. Studying the right tails for the aforementioned quantities helps study thecovariance between the current and the remaining life as per chapters 3,4 and 5of this thesis. Both the sign and the monotonicity of the covariance are linked tospecific distribution classes and are relation- dependent for both finite and infinitetimes.

Στη διατριβή αυτή γίνεται αρχικά αναφορά στο Κεφάλαιο 1 σε βασικά αποτελέσματα της ανανεωτικής θεωρίας τα οποία αποτέλεσαν τα βασικά εργαλεία για την εκπόνηση της διατριβής. Ένα από τα βασικά αντικείμενα μελέτης της ανανεωτικής θεωρίας είναι η μελέτη της ανανεωτικής συνάρτησης και η κατασκευή φραγμάτων για την ποσότητα αυτή. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε βελτιώσεις αυτών των φραγμάτων. Μια άλλη ποσότητα με ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την ανανεωτική θεωρία είναι ο αριθμός των ανανεώσεων που συμβαίνουν σε ένα χρονικό διάστημα (t,t+x). Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε φράγματα για αυτή την ποσότητα που βελτιώνουν τα ήδη υπάρχοντα.Οι ίδιες ποσότητες μελετώνται σε ένα πιο γενικό πεδίο εφαρμογών, στους τυχαίους περιπάτους στο Κεφάλαιο 9. Στο Κεφάλαιο 7 μελετάμε τις ροπές βασικών μεταβλητών της ανανεωτικής θεωρίας. Πιο συγκεκριμένα, δίνονται τύποι υπολογισμού ροπών οποιασδήποτε τάξεως και φράγματα για τις ροπές κάτω από συγκεκριμένες κλάσεις κατανομών. Ο αριθμός των ανανεώσεων που συμβαίνουν σε ένα χρονικό διάστημα (t,t+x) συνδέεται με την δεξιά ουρά της υπολειπόμενης ζωής, έτσι το επόμενο βήμα είναι η μελέτη της δεξιάς ουράς της υπολειπόμενης ζωής, της από κοινού δεξιάς ουράς της τρέχουσας και υπολειπόμενης ζωής και της τρέχουσας ζωής. Η χρήση των δεξιών ουρών αποτελεί βασικό εργαλείο για την μελέτη ροπών ανωτέρας τάξης για τους χρόνους που αποτελούν αντικείμενο μελέτης της ανανεωτικής θεωρίας τους οποίους και μελετάμε στο Κεφάλαιο 7. Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται τύποι υπολογισμού ροπών οποιασδήποτε τάξεως και φράγματα για τις ροπές κάτω από συγκεκριμένες κλάσεις κατανομών. Αυτά τα αποτελέσματα τα μεταφέρουμε στο πεδίο των τυχαίων περιπάτων στο Κεφάλαιο 8. Η μελέτη των δεξιών ουρών των παραπάνω ποσοτήτων αποτελεί βασικό εργαλείο για την μελέτη της συνδιακύμανσης της τρέχουσας και της υπολειπόμενης ζωής την οποία μελετάμε στα κεφάλαια 3,4,5 και 6 της παρούσας διατριβής. Το πρόσημο αλλά και η μονοτονία της συνδιακύμανσης συνδέονται με συγκεκριμένες κλάσεις κατανομών αλλά και με σχέσεις εξάρτησης για πεπερασμένο χρόνο και για την περίπτωση όπου ο χρόνος τείνει στο άπειρο.