Mathematical modeling through topological surgery and applications

Abstract

Topological surgery is a mathematical technique used for creating new manifolds out of known ones. We observe that it occurs in natural phenomena where forces are applied and the manifold in which they occur changes type. For example, 1-dimensional surgery happens during chromosomal crossover, DNA recombination and when cosmic magnetic lines reconnect, while 2-dimensional surgery happens in the formation of Falaco solitons, in drop coalescence and in the cell mitosis. Inspired by such phenomena, we enhance topological surgery with the observed forces and dynamics. We then generalize these low-dimensional cases to a model which extends the formal definition to a continuous process caused by local forces for an arbitrary dimension m. Next, for modeling phenomena which do not happen on arcs, respectively surfaces, but are 2-dimensional, respectively 3-dimensional, we fill in the interior space by defining the notion of solid topological surgery. We further present a dynamical system as a model for both natural phenomena exhibiting a`hole drilling' behavior and our enhanced notion of solid 2-dimensional 0-surgery. Moreover, we analyze the ambient space (which we consider to be the 3-sphere) in order to introduce the notion of embedded topological surgery in the 3-sphere. This notion is then used for modeling phenomena which involve more intrinsically the ambient space, such as the appearance of knotting in DNA and phenomena where the causes and effects of the process lie beyond the initial manifold, such as the formation of tornadoes. Moreover, we present a visualization of the 4-dimensional process of 3-dimensional surgery by using the new notion of decompactified 2-dimensional surgery and rotations. Finally, we propose a model for a phenomenon exhibiting 3-dimensional surgery: the formation of black holes from cosmic strings. We hope that through this study, topology and dynamics of many natural phenomena, as well as topological surgery itself, will be better understood.

Η τοπολογική χειρουργική χρησιμοποιείται για την κατασκευή νέων πολλαπλοτήτων από γνωστές. Παρατηρήσαμε ότι πολλά φαινόμενα στη φύση και πολλές φυσικές διεργασίες, τόσο του μικροκόσμου όσο και του μακροκόσμου, μπορούν να εξηγηθούν μέσω της τοπολογικής χειρουργικής σε μία, δύο και τρεις διαστάσεις. Προκειμένου να δώσουμε επιτυχή τοπολογικά μοντέλα για αυτά τα φαινόμενα, εισαγάγαμε νέες έννοιες στην τοπολογική χειρουργική όπως: εισαγωγή δυνάμεων και κέντρων έλξης, εισαγωγή της έννοιας της στερεάς χειρουργικής καθώς και της έννοιας της εμβαπτισμένης χειρουργικής στον τρισδιάστατο χώρο. Για παράδειγμα, η έννοια της εμβαπτισμένης 1-διάστατης 0-χειρουργικής επιτρέπει τη δημιουργία κόμβων και μπορεί να περιγράψει φαινόμενα όπως η αναδιάταξη του DNA, η δημιουργία νέων γονιδίων κατά την διαδικασία της μείωσης και η μαγνητική επανασύνδεση των κοσμικών μαγνητικών γραμμών. Ένα παράδειγμα στις 2 διαστάσεις είναι η έννοια της εμβαπτισμένης στερεής 2-διάστατης 0-χειρουργικής η οποία μας επιτρέπει να εξετάσουμε τί συμβαίνει και στον υπόλοιπο χώρο. Το συγκεκριμένο μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει τοπολογικά μη τοπικά φαινόμενα όπως είναι η δημιουργία τυφώνων αλλά και η δημιουργία των Falaco solitons. Επιπλέον, συνδέουμε την τοπολογική χειρουργική με ένα τρισδιάστατο μη-γραμμικό δυναμικό σύστημα Lotka-Volterra και αντιστοιχούμε τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του συστήματος με τα βασικά στοιχεία της χειρουργικής. Το τελευταίο μέρος του διδακτορικού αφορά τους τρόπους απεικόνισης της τρισδιάστατης χειρουργικής και την σύνδεση αυτής με κοσμολογικά φαινόμενα. Καθώς η τρισδιάστατη χειρουργική είναι μια διαδικασία η οποία συμβαίνει στο τετρασδιάστατο χώρο, η απεικόνιση της χρειάστηκε να χρησιμοποιήσουμε τοπολογικά εργαλεία και ιδιότητες που παρατηρήσαμε στις χαμηλότερες διαστάσεις. Τέλος, δείχνουμε πώς η τρισδιάστατη χειρουργική σχετίζεται με τις μελανές οπές παρουσιάζοντας ένα καινούργιο μοντέλο για την δημιουργία των μελανών οπών από κοσμικές χορδές.