Complete intersections

Abstract

We give a necessary and sufficient condition for monomial curves in the three dimensional space to be a set theoretic complete intersection on a binomial surface. Using this condition, we prove that the twisted cubic curve is the only smooth monomial curve which is a set theoretic complete intersection on a binomial surface, in characteristic zero. We describe the monomial curves that are set theoretic complete intersections on two binomial surfaces. We prove that are exactly those that are ideal theoretic complete intersections. Using that we get explicitly all monomial curves that are ideal theoretic complete intersections and a minimal generating basis for their ideals. Finally we prove that smooth monomial curves of degree greater than three are not set theoretic complete intersections on bihomogeneous surfaces.

Δίνουμε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι μια μονωνυμική καμπύλη στον τριδιάστατο χώρο συνολοθεωρητική πλήρης διατομή σε διωνυμική επιφάνεια. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι η λεία τριτοβάθμια μονωνυμική καμπύλη είναι η μοναδική λεία μονωνυμική καμπύλη που ειναι πλήρη διατομή σε μονωνυμική επιφάνεια, σε χαρακτηριστική σώματος μηδέν. Περιγράφουμε τις μονωνυμικές καμπύλες που είναι συνολοθεωρητικές πλήρεις διατομές σε δύο διωνυμικές επιφάνειες. Αποδεικνύουμε ότι είναι ακριβώς εκείνες που είναι ιδεωδοθεωρητικές πλήρεις διατομές. Έτσι έχουμε πλήρη περιγραφή των μονωνυμικών καμπυλών που είναι ιδεωδοθεωρητικές πλήρεις διατομές και ένα ελαχιστικό σύνολο γεννητόρων του ιδεώδους τους. Στο τελευταίο μέρος αποδεικνύουμε ότι λείες μονωνυμικές καμπύλες βαθμού μεγαλύτερου του τρία δεν είναι συνολοθεωρητικές πλήρεις διατομές σε διομογενείς επιφάνειες.