Bayesian modelling of high dimensional financial data using latent gaussian models

Abstract

The present thesis deals with the problem of developing statistical methodology for modelling and inference of high dimensional financial data. The motivation of our research was the identification of infrequent and extreme movements, which are called jumps, in the prices of the 600 stocks of Euro STOXX index. This is known in the financial and statistical literature as the problem of separating jumps from the volatility of the underlying process which is assumed for the evolution of the stock prices. The main contribution of the thesis is the modelling and the development of methods for inference on the characteristics of the jumps across multiple stocks, as well as across the time horizon. Following the Bayesian paradigm we use prior information in order to model a known characteristic of financial crises, which is that jumps in stock prices tend to occur clustered in time and to affect several markets within a sort period of time. An improvement in the prediction of future stock prices has been achieved.The proposed model combines the stochastic volatility (SV) model with a multivariate jump process and belongs to the very broad class of latent Gaussian models. Bayesian inference for latent Gaussian models relies on a Markov chain Monte Carlo (MCMC) algorithm which alternates sampling from the distribution of the latent states of the model conditional on the parameters and the observations, and sampling from the distribution of the parameters of the model conditional on the latent states and the observations. In the case of SV models with jumps, sampling the latent volatility process of the model is not a new problem. Over the last few years several methods have been proposed for separating the jumps from the volatility process but there is not a satisfactory solution yet, since sampling from a high dimensional nonlinear and non-Gaussian distribution is required. In the present thesis we propose a Metropolis-Hastings algorithm in which we sample the whole path of the volatility process of the model without using any approximation. We compare the resulting MCMC algorithm with existing algorithms. We apply our proposed methodology on univariate SV with jumps models in order to identify jumps in the stock prices of the real dataset that motivated our research.To model the propagation of the jumps across stocks and across time we combine the SV model with a doubly stochastic Poisson process, also known as Cox process. The intensity of the jumps in the Poisson process is modelled using a dynamic factor model. Furthermore, we develop an MCMC algorithm to conduct Bayesian inference for the parameters and the latent states of the proposed model. We test the proposed methods on simulated data and we applied them on our real dataset. We compare the prediction of future stock prices using the proposed model with the predictions obtained using existing models. The proposed model provides better predictions of future stock prices and this is an indication for a predictable part of the jump process of SV models. The MCMC algorithm that is implemented in order to conduct Bayesian inference for the aforementioned models is also employed on a demographic application. More precisely, within the context of latent Gaussian models we present a novel approach to model and predict mortality rates of individuals.

Στην παρούσα διατριβή αναπτύσσονται μέθοδοι για τη μοντελοποίηση και τη στατιστική ανάλυση πολυδιάστατων χρηματοοικονομικών δεδομένων. Το κίνητρο για την πραγματοποιηθείσα έρευνα ήταν η αναγνώριση σπάνιων και ακραίων κινήσεων, οι οποίες καλούνται άλματα, στις τιμές των 600 μετοχών του δείκτη Euro STOXX. Το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι γνωστό στη χρηματοοικονομική και στατιστική βιβλιογραφία ως το πρόβλημα διαχωρισμού της διαδικασίας αλμάτων από τη διαδικασία στοχαστικής μεταβλητότητας των τιμών μιας μετοχής.Η κύρια συνεισφορά της διατριβής είναι η μοντελοποίηση και η ανάπτυξη στατιστικών μεθόδων συμπερασματολογίας για τα χαρακτηριστικά των αλμάτων στις τιμές μεταξύ των μετοχών των διαφορετικών οικονομικών αγορών αλλά και για τη διαφοροποιήση των συγκεκριμένων χαρακτηριστικών στις διαφορετικές χρονικές στιγμές. Ακολουθώντας την φιλοσοφία της Μπεϋζιανής στατιστικής χρησιμοποιούμε εκ των προτέρων πληροφορία για να μοντελοποιήσουμε χαρακτηριστικά των αλμάτων των τιμών των μετοχών όπως η τάση τους να πραγματοποιούνται ομαδοποιημένα ανά χρονικές στιγμές και να επηρεάζουν μέσα σε σύντομο χρονικό διάστημα διάφορες μετοχές. Το προτεινόμενο μοντέλο φαίνεται να παρέχει βελτιωμένες, σε σχέση με ήδη υπάρχοντα μοντέλα, προβλέψεις για τις μελλοντικές τιμές των μετοχών. Το χρηματοοικονομικό μοντέλο που προτείνεται στην παρούσα διατριβή ανήκει στην κατηγορία των μοντέλων με άδηλες κανονικές μεταβλητές και αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος είναι γννωστό ως μοντέλο στοχαστικής μεταβλητότητας ενώ το δεύτερο μέρος είναι ένα πολυμεταβλητό μοντέλο αλμάτων. Η Μπεϋζιανή συμπερασματολογία για τέτοιου είδους μοντέλα βασίζεται στην χρήση Markov chain Monte Carlo (MCMC) αλγορίθμων, οι οποίοι εναλλάσουν δειγματοληψία μεταξύ της κατανομής των άδηλων μεταβλητών του μοντέλου δοθέντων των παραμέτρων και των παρατηρήσεων, και της κατανομής των παραμέτρων δοθέντος των άδηλων μεταβλητών και των παρατηρήσεων. Στην περίπτωση ενός μοντέλου στοχαστικής μεταβλητότητας με άλματα, η δειγματοληψία της άδηλης διαδικασίας στοχαστικής μεταβλητότητας είναι ένα γνώστο πρόβλημα για το οποίο δεν υπάρχει ακόμα μια ευρέως αποδεκτή λύση, αφού απαιτείται η δειγματοληψία από μια πολυδιάστατη, μη γραμμική κατανομή. Στην παρούσα διατριβή προτείνεται ένας Metropolis-Hastings αλγόριθμος με τον οποίο πραγματοποείται η δειγματοληψία ολόκληρου του μονοπατιού της διαδικασίας στοχαστικής μεταβλητότητας χωρίς την χρήση κάποιας προσέγγισης. Ο προτεινόμενος αλγόριθμος συγκρίνεται επίσης με ήδη υπάρχοντες αλγοριθμους και εφαρμόζεται στις τιμές των μετοχών που αποτέλεσαν το κίνητρο της διατριβής, με σκοπό να αναγνωριστούν τα άλματα τους.Για τη μοντελοποίηση της διάδοσης των αλμάτων ματαξύ των τιμών των μετοχών αλλά και μεταξύ των διαφορετικών χρονικών στιγμών χρησιμοποιούμε τη διπλά στοχαστική διαδικασία Poisson, γνωστή και ως διαδικασία του Cox. Ο ρυθμός των αλμάτων της χρησιμοποιούμενης Poisson διαδικασίας μοντελοποιείται από ένα δυναμικό παραγοντικό μοντέλο. Αναπτύσσουμε επίσης MCMC αλγορίθμους για την Μπεϋζιανή εκτίμηση των παραμέτρων και των άδηλων μεταβλητών του προτεινόμενου μοντέλου. Αφού ελεγχθεί σε προσομοιωμένα δεδομένα, ο προτεινόμενος αλγόριθμος εφαρμόζεται στα πραγματικά δεδομένα που έχουμε στην διαθεσή μας. Οι προβλέψεις μελλοντικών τιμών των μετοχών με τη χρήση του προτεινόμενου μοντέλου συγκρίνονται με προβλέψεις από υπάρχοντα μοντέλα. Ο MCMC αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε για την πραγματοποιήση Μπεϋζιανής συμπερασματολογίας στα προαναφερθέντα μοντέλα εφαρμόζεται επίσης σε ένα πρόβλημα δημογραφικής στατιστικής. Πιο συγκεκριμένα, στο πλαίσιο των μοντέλων άδηλων κανονικών μεταβλητών παρουσιάζουμε μια καινοφανή προσέγγιση στη μοντελοποίηση και την πρόβλεψη πιθανοτήτων θνησιμότητας.