Dynamics of charged particles in electromagnetic fields with applications in fusion devices

Abstract

In this thesis, we investigate the three-dimensional Newtonian motion of charged particles in electromagnetic fields both numerically and analytically. On one hand, we explore the collective behavior of large numbers of particles in toroidal geometry and the presence of magnetic islands under the influence of wave-particle interaction. Focusing on fusion applications in tokamak plasma, this study is based on simulations of the particles orbits including relativistic effects and collisions. For their need, an exact magnetic surface label for isolated islands is also derived in toroidal coordinates, and from the results we determine the current drive and wave absorption. On the other hand, we carry out a symmetry group analysis for the equations of charged particle motion in the autonomous case. Resulting from the Lorentz force for arbitrary stationary electromagnetic fields, we tackle the general autonomous system of three second-order ordinary differential equations linear in the first derivatives that comes from a Lagrangian with linearly velocity-dependent potentials accordingly. Considering non-trivial cases of physical interest and, in particular, three-dimensional inhomogeneous, curved magnetic fields, we find the general group of Lie point symmetries when the system is altogether nonlinear. A comparison between these symmetries and the symmetries of the magnetic field lines is also made. Subsequently, the group of augmented point equivalence transformations for this class of systems is found too, taking into account Maxwell's equations as auxiliary conditions. Under the equivalence group, we classify members of this class, that is, time-independent electromagnetic fields in terms of symmetry groups. Symmetries of Noether type are determined as well and the corresponding integrals of motion are constructed. Finally, based on the latter, aspects of complete integrability are discussed.

Στην διατριβή αυτή μελετάμε την τριδιάστατη Νευτώνεια κίνηση φορτισμένων σωματιδίων σε ηλεκτρομαγνητικά πεδία, τόσο αριθμητικά όσο και αναλυτικά. Στο πρώτο κομμάτι διερευνάμε την συλλογική συμπεριφορά ενός μεγάλου αριθμού σωματιδίων σε γεωμετρία τόρου παρουσία μαγνητικών νησίδων κάτα την αλληλεπίδραση κύματος-σωματιδίου. Με στόχο εφαρμογές σύντηξης στο πλάσμα πειραματικών διατάξεων τύπου tokamak, η μελέτη αυτή βασίζεται σε προσομειώσεις των τροχιών των σωματιδίων συμπεριλαμβανομένων σχετικιστικών διορθώσεων και συγκρούσεων. Για τον σκοπό αυτό προσδιορίζουμε μία αναλυτική συνάρτηση σε συντεταγμένες τόρου που χαρακτηρίζει επακριβώς τις μαγνητικές επιφάνειες στην περίπτωση απομονωμένων νησίδων, ενώ από τα αποτελέσματα υπολογίζουμε το οδηγούμενο ρεύμα και την απορρόφηση του κύματος. Το δεύτερο κομμάτι αφορά την ανάλυση κατά συμμετρίες των εξισώσεων κίνησης φορτισμένων σωματιδίων στην αυτόνομη περίπτωση. Με βάση την δύναμη Lorentz για αυθαίρετα στάσιμα ηλεκτρομαγνητικά πεδία, θεωρούμε το γενικό αυτόνομο σύστημα τριών συνήθων διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης γραμμικών ως προς τις πρώτες παραγώγους που προέρχεται από μία συνάρτηση Lagrange με δυναμικό που εξαρτάται γραμμικά από τις ταχύτητες, αντίστοιχα. Θεωρώντας μη τετριμμένες περιπτώσεις φυσικού ενδιαφέροντος και συγκεκριμένα τριδιάστατα, ανομοιογενή, καμπυλωμένα μαγνητικά πεδία, προσδιορίζουμε την γενική ομάδα σημειακών συμμετριών όταν το σύστημα είναι συνολικά μη γραμμικό. Τις συμμετρίες αυτές συγκρίνουμε επίσης με τις συμμετρίες των μαγνητικών γραμμών. Στην συνέχεια, βρίσκουμε την ομάδα επαυξημένων σημειακών μετασχηματισμών ισοδυναμίας για αυτήν την κλάση συστημάτων, λαμβάνοντας υπόψη τις εξισώσεις Maxwell ως βοηθητικές συνθήκες. Κάτω από την ομάδα ισοδυναμίας ταξινομούμε τα μέλη αυτής της κλάσης, ουσιαστικά δηλαδή τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία, ως προς ομάδες συμμετρίες. Τέλος, προσδιορίζουμε τις συμμετρίες τύπου Noether, κατασκευάζοντας τα αντίστοιχα ολοκληρώματα της κίνησης, βάση των οποίων εξάγουμε ορισμένα πρώτα συμπεράσματα ως προς την πλήρη ολοκληρωσιμότητα του συστήματος.