Size effects in semi-brittle materials and gradient theories with application to concrete

Abstract

Given the increasing awareness regarding the usefulness of gradient elasticity theories and the significant amount of theoretical work that has been produced in the last decade or so, it is rather surprising that the discussion concerning the relationship between the internal length and the material’s microstructure is more or less limited usually to the vague statement that the internal length parameter of the material is a function of the dominant feature of the material’s microstructure. The main aim of this thesis was to investigate the physical correlation of this internal length assumed by dipolar elasticity to the material’s microstructure. To the author’s knowledge, the estimation of an evolving internal length parameter for cementitious materials based on experimental evidence has not been done in the past. For this to be attempted and in order to investigate a possible size effect in elasticity from flexure tests of concrete beams, the two classical material constants, the Young’s modulus and Poisson’s ratio, should be determined independently. A homogenization procedure applied to heterogeneous materials in this study showed that the internal length is best described as a measure of the heterogeneity which cannot be defined only in terms of the dominant feature of the microstructure (size of inclusions) but also of the matrix/inclusions elastic mismatch in the material. This was verified experimentally by testing concrete specimens of various mixes with similar microstructural details but with different matrix/aggregate elastic mismatch. The internal length estimate determined based on this model was found to decrease with decreasing level of elastic mismatch. A gradient enhanced elasto-damage model applicable to the case of concrete beams under flexure, which relies heavily on the elasticity solution of the boundary value problem for the case of a dipolar elastic Timoshenko beam, is presented in this work. A closed-form solution of this problem and a methodology for solving more complex beam problems, such as indeterminate beam configurations, is described. This model reduces to the gradient Bernoulli-Euler solution and the classical Timoshenko solution if the necessary simplifications and limits are considered. The elasticity solution of the boundary value problem was used in conjunction with an assumed stress-strain law applicable to semi-brittle materials in order to produce numerical predictions for the inelastic response of the beams tested. The model proposed is shown to lead to an objective (mesh-independent) damage characterization. In this study, the presence of size effects in elasticity and inelasticity of cementitious materials was investigated based on midspan deflection and axial strain measurements of un-notched concrete beam specimens tested under true displacement-controlled 4-point bending for concrete with a compressive strength of up to 40 MPa. The geometrically similar un-notched beam specimens tested had a beam height to maximum aggregate size ratio of up to about 6.5. Since concrete possesses rather complex microstructural details due to the presence of different aggregate sizes with specific volume fractions (aggregate gradation), the internal length estimate for a given mix is compared with its average inclusion size, which describes its inherent heterogeneity. The average inclusion size for the concrete mixes considered in this study with a maximum aggregate size of 32 mm, obtained by mapping the actual microstructure on cross-sectional cuts of the specimens, ranged between 10 and 20 mm. An estimate of the internal length for a given concrete mix was obtained based on the applied load vs. midspan deflection and curvature measurements of the beam tests. A stiffer response than that predicted by the classical elasticity theory is measured in the flexural elastic response range of the beams tested. The proposed model predicted an internal length estimate of about mm in the case of the concrete mixes with a significant elastic mismatch for which cracking occurs predominantly in the matrix material (lower-strength concrete). It should be noted, that the same internal length estimate was obtained independently of the use of either the midspan deflection or the axial strain measurements. These concrete mixes are representative of a composite with inclusions much stiffer than the matrix material. It is important that the internal length parameter in this case appears to be practically equal to the average inclusion size of such a microstructure. On the other hand, lower internal length estimates of about and mm (about one-half the average inclusion size), were found for the two concrete mixes with a higher compressive strength. The lower internal length estimates for the higher-strength concrete is attributed to the lower elastic mismatch in the microstructure of these mixes, due to which a significant number of aggregates were fractured along the crack path. As expected, the size effect in elasticity is found to be insignificant in the case of the cement mortar mix with a maximum aggregate size of 1 mm, which can be viewed as a completely homogeneous material. Furthermore, it is argued that microcracking in semi-brittle materials, which is the source of material softening, should also affect the initial internal length parameter value, g0, which is associated with the given heterogeneity of the material. If a microstructural internal length is related to the level of damage, a thermodynamic formulation of the problem showed that this length should be either increasing or remaining constant with damage. An experimental investigation of the particular form of the gradient internal length evolution law verified this theoretical finding since it was shown that an increasing gradient internal length with damage yields non-local predictions that are in better agreement with the experimental results than the local predictions. Finally, a non-linear (exponential) relationship between damage and the gradient internal length was found to satisfy the objectivity requirement of a size-independent internal length evolution law for the cementicious mixes considered in this study. Also, it was found that the rate of increase in the internal length value with damage is increasing with increasing brittleness level of response.

Με βάση τη βιβλιογραφία η σχέση μεταξύ του εσωτερικού μήκους και της μικροδομής ενός υλικού περιορίζεται συνήθως στην ασαφή πρόταση ότι το εσωτερικό μήκος του υλικού είναι συνάρτηση της κυρίαρχης λεπτομέρειας της μικροδομής. Η συνεχώς αυξανόμενη βέβαια επίγνωση της χρησιμότητας των θεωριών βαθμοελαστικότητας και το σημαντικό θεωρητικό ερευνητικό έργο που έχει πραγματοποιηθεί την τελευταία δεκαετία δίνει τη δυνατότητα να γίνει περαιτέρω εμβάθυνση στη μελέτη του εσωτερικού μήκους. Ο κύριος σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής ήταν η έρευνα της φυσικής συσχέτισης του εσωτερικού μήκους που υποθέτουν οι θεωρίες βαθμοελαστικότητας και της μικροδομής του υλικού. Για να πραγματοποιηθεί αυτό και για να ερευνηθούν φαινόμενα κλίμακας στην ελαστικότητα με βάση πειραματικών μετρήσεων δοκιμών κάμψης σε δοκίμια δοκών σκυροδέματος, οι δυο κλασικές ελαστικές σταθερές δηλ. το μέτρο ελαστικότητας και ο λόγος Poisson, απαιτείται να εκτιμηθούν από άλλες δοκιμές. Στην παρούσα μελέτη, εφαρμόστηκε μια διαδικασία ομοιογενοποίησης σε ανομοιογενή υλικά και αποδείχτηκε ότι το εσωτερικό μήκος πρέπει να αντιμετωπιστεί σαν ένα μέτρο ανομοιογένειας, η οποία δεν μπορεί να οριστεί μόνο με βάση την κυρίαρχη λεπτομέρεια της μικροδομής (μέγεθος αδρανών) αλλά πρέπει να συμπεριλάβει και τη σχετική δυσκαμψία μήτρας/εγκλεισμάτων. Αυτό επαληθεύτηκε πειραματικά από τα αποτελέσματα δοκιμίων σκυροδέματος διαφορετικών μιγμάτων με παρόμοια λεπτομέρεια μικροδομής αλλά διαφορετική σχετική δυσκαμψία μήτρας/αδρανών. Με βάση τις εκτιμήσεις του εσωτερικού μήκους από το παρόν μοντέλο, φαίνεται ότι το εσωτερικό μήκος μειώνεται με μείωση της σχετικής δυσκαμψίας του υλικού. Η εφαρμογή του βαθμοελαστικού προσομοιώματος βλάβης, που προτείνεται σ’ αυτή την διατριβή για την περίπτωση δοκών σκυροδέματος σε κάμψη, εξαρτάται από την ελαστική λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών για την περίπτωση μιας βαθμοελαστικής δοκού Timoshenko. Το πρόβλημα έχει κλειστή λύση και παρουσιάζεται μια μεθοδολογία για την επίλυση σύνθετων στατικών προβλημάτων, όπως αόριστα στατικά συστήματα,. Αυτό το μοντέλο οδηγεί στη βαθμοελαστική Bernoulli-Euler λύση και την κλασσική λύση Timoshenko εάν εφαρμοστούν κατάλληλα όρια και απλοποιήσεις. Η ελαστική λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών χρησιμοποιήθηκε μαζί με έναν υποθετικό νόμο τάσης-τροπής για ημι-ψαθυρά υλικά με σκοπό τη παραγωγή αριθμητικών προβλέψεων για την ανελαστική συμπεριφορά των δοκών που δοκιμάστηκαν πειραματικά. Το μοντέλο που προτείνεται αποδεικνύεται ότι παράγει αντικειμενικό χαρακτηρισμό της βλάβης που είναι ανεξάρτητος του κανάβου που χρησιμοποιήθηκε για την ανάλυση. Στην παρούσα εργασία, η ύπαρξη φαινόμενων κλίμακας στην ελαστικότητα και ανελαστικότητα τσιμεντοειδών υλικών εξετάστηκε με βάση τις πειραματικές μετρήσεις του βέλους κάμψης και των αξονικών τροπών στο μέσον του ανοίγματος των δοκιμίων δοκών άοπλου σκυροδέματος θλιπτικής αντοχής έως 40 MPa, που δοκιμάστηκαν σε κάμψη 4-σημείων με επιβολή του βέλους κάμψης στο μέσον του ανοίγματος. Τα γεωμετρικά όμοια δοκίμια των δοκών είχαν λόγο ύψους προς μέγιστη διάσταση αδρανών έως 6.5. Επειδή το σκυρόδεμα περιέχει μια σύνθετη μικροδομή εξαιτίας της ύπαρξης αδρανών διαφορετικών διαστάσεων σε διάφορα κατ’ όγκο ποσοστά (κοκκομετρική διαβάθμιση), το εσωτερικό μήκος για κάθε μίγμα συγκρίνεται με το μέσο μέγεθος αδρανών που περιγράφει την ανομοιογένειά του. Η μέση διάσταση των αδρανών των μιγμάτων σκυροδέματος με μέγιστο μέγεθος αδρανών 32 mm προσδιορίστηκε με βάση την οπτική απεικόνιση της μικροδομής του υλικού από τομές σε διάφορα δοκίμια και βρέθηκε οτι κυμαίνεται μεταξύ 10 και 20 mm. Επίσης, η τιμή του εσωτερικού μήκους για κάθε μίγμα εκτιμήθηκε με βάση τα πειραματικά αποτελέσματα του επιβαλλόμενου φορτίου συναρτήσει είτε του βέλους κάμψης ή της καμπυλότητας στο μέσον του ανοίγματος των δοκών. Μια περισσότερο δύσκαμπτη συμπεριφορά παρατηρήθηκε στην ελαστική περιοχή της απόκρισης σε σχέση με αυτή που προβλέπει η κλασσική θεωρεία ελαστικότητας. Το προτεινόμενο μοντέλο προβλέπει ένα εσωτερικό μήκος περίπου ίσο με mm για την περίπτωση μιγμάτων σκυροδέματος με σημαντική σχετική δυσκαμψία στη μικροδομή, όπου η ρηγμάτωση συμβαίνει κατά κύριο λόγο στο υλικό της μήτρας (σκυρόδεμα χαμηλής αντοχής). Αυτά τα σκυροδέματα είναι αντιπροσωπευτικά ενός σύνθετου υλικού με εγκλείσματα πολύ πιο δύσκαμπτα από το υλικό της μήτρας. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η εκτίμηση του εσωτερικού μήκους είναι παρόμοια ανεξάρτητα εάν χρησιμοποιήθηκαν οι πειραματικές μετρήσεις του βέλους κάμψης ή της καμπυλότητας. Στην περίπτωση αυτή εκτιμάται ότι το εσωτερικό μήκος είναι περίπου ίσο με τη μέση διάσταση των αδρανών. Οι εκτιμήσεις για την τιμή του εσωτερικού μήκους για τα δύο μίγματα σκυροδέματος με την υψηλότερη θλιπτική αντοχή είναι χαμηλότερες της τάξης των και mm, δηλ. περίπου ίση με το ήμισυ της μέσης διάστασης των αδρανών. Οι χαμηλότερες τιμές για τα σκυροδέματα με την υψηλότερη θλιπτική αντοχή μπορεί να αποδοθούν στη χαμηλότερη σχετική δυσκαμψία της μικροδομής αυτών των μιγμάτων, όπου έλαβε χώρα θραύση ενός σημαντικού αριθμού αδρανών κατά μήκος της ρωγμής. Επίσης, όπως αναμένεται, το φαινόμενο κλίμακας στην ελαστικότητα ήταν αμελητέο για την περίπτωση του τσιμεντοκονιάματος με μέγιστη διάσταση αδρανών ίση με 1 mm, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί σχεδόν ομοιογενές υλικό. Επιπρόσθετα, υποστηρίζεται ότι η μικρορηγμάτωση στα ημι-ψαθυρά υλικά, η οποία προκαλεί φθίνουσα φέρουσα ικανότητα στη συμπεριφορά του υλικού, πρέπει επίσης να επηρεάζει την αρχική τιμή του εσωτερικού μήκους, g0, η οποία σχετίζεται με την αρχική ανομοιογένεια του υλικού. Εάν το εσωτερικό μήκος υποτεθεί ότι είναι συνάρτηση της υπάρχουσας βλάβης, θερμοδυναμική ανάλυση του προβλήματος απέδειξε ότι αυτό το μήκος πρέπει είτε να αυξάνει ή να παραμένει σταθερό με την αύξηση του επιπέδου της βλάβης. Μια πειραματική διερεύνηση της συγκεκριμένης μορφής του νόμου αλλαγής του εσωτερικού μήκους επιβεβαίωσε αυτό το θεωρητικό αποτέλεσμα καθώς αποδείχτηκε ότι ένα αυξανόμενο εσωτερικό μήκος συναρτήσει της βλάβης καταλήγει σε προβλέψεις που είναι σε καλύτερη συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα απ’ ότι οι προβλέψεις του κλασσικού μοντέλου. Τέλος, μια μη-γραμμική (εκθετική) σχέση μεταξύ του εσωτερικού μήκους και της βλάβης βρέθηκε να ικανοποιεί το κριτήριο αντικειμενικότητας ενός νόμου εξέλιξης ανεξάρτητα της κλίμακας για τα τσιμεντοειδή μίγματα που εξετάστηκαν στην παρούσα εργασία. Τελικά, βρέθηκε ότι ο ρυθμός αύξησης του εσωτερικού μήκους με τη βλάβη αυξάνει με την αύξηση της ψαθυρότητας του υλικού.