Ύπαρξη λύσεων ομοιότητας ειδικών μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με εφαρμογές στην εξελικτική θεωρία παιγνίων

Abstract

The topic of this doctoral dissertation is the existence of self-similar solutions for special nonlinear differential equations with applications in evolutionary game theory. We consider nonlinear differential equations containing a nonlocal term, where the spatial variable x belongs to Euclidian d-dimensional space. These equations come from evolutionary game theory and belong to the category of equations/models of replicator dynamics, where the set of strategies is the Euclidian d-dimensional space (hence a continuum). We focus on the replicator dynamic equation using two differential, non-symmetric and time-dependent payoff operators. Hence, we study two different problems and we prove that they have an one-parameter family of self-similar solutions, where all solutions approach Dirac delta function δ(x), as time t is close to 0. Viewed as functions of x, all these solutions are probability densities on Euclidian d-dimensional space for each t>0 and can serve as time-evolving mixed strategies of a player. Furthermore, we prove the properties and generally the construction of this one-parameter family of self-similar solutions for these replicator dynamics models.

Το θέμα αυτής της διδακτορικής διατριβής είναι η ύπαρξη λύσεων ομοιότητας ειδικών μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με εφαρμογές στην εξελικτική θεωρία παιγνίων. Μελετάμε μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν έναν μη τοπικό όρο, όπου η χωρική μεταβλητή x ανήκει στον Ευκλείδειο d-διάστατο χώρο. Αυτές οι εξισώσεις προέρχονται από την εξελικτική θεωρία παιγνίων και ανήκουν στην κατηγορία των εξισώσεων/μοντέλων της αναπαραγόμενης δυναμικής, όπου ο χώρος των στρατηγικών είναι ο Ευκλείδειος d-διάστατος χώρος (άρα είναι ένα συνεχές). Επικεντρωνόμαστε στην εξίσωση της αναπαραγόμενης δυναμικής χρησιμοποιώντας δύο διαφορικούς, μη συμμετρικούς και χρονοεξαρτώμενους τελεστές αμοιβής. Οπότε μελετάμε δύο διαφορετικά προβλήματα και αποδεικνύουμε ότι έχουν μία μονοπαραμετρική οικογένεια λύσεων ομοιότητας, όπου όλες αυτές οι λύσεις προσεγγίζουν τη συνάρτηση δέλτα Dirac δ(x), καθώς ο χρόνος t πλησιάζει στο 0. Ως συναρτήσεις του x, όλες αυτές οι λύσεις είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας στον Ευκλείδειο d-διάστατο χώρο για κάθε t>0 και μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως χρονοεξελισσόμενες μεικτές στρατηγικές για έναν παίκτη. Επιπλέον, αποδεικνύουμε τις ιδιότητες και γενικά τη δομή αυτής της μονοπαραμετρικής οικογένειας λύσεων ομοιότητας για αυτά τα μοντέλα αναπαραγόμενης δυναμικής.