Application of hidden Markov and related models to earthquake studies

Abstract

Discrete valued hidden Markov Models (HMMs) are used to model time series of event counts in several scientific fields like genetics, engineering, seismology and finance. In its general form the model consists of two parts: the observation sequence and an unobserved sequence of hidden states that underlies the data and consist a Markov chain. Each state is characterized by a specific distribution and the progress of the hidden process from state to state is controlled by a transition probability matrix. We extend the theory of HMMs to the multivariate case and apply them to seismological data from different seismotectonic environments. This extension is not straightforward and it is achieved gradually by assuming different multivariate distributions to describe each state of the model. We consider different multivariate distributions with Poisson marginals, starting from the known multivariate Poisson distribution (MPHMMs) and then extending to copula based distributions to allow for full flexibility. Different copula families have been selected, with different number of parameters and different properties. An EM type algorithm has been constructed to estimate the models' parameters and some simulation experiments have been conducted for the parameter estimation method to be evaluated. Real data applications with seismological data are conducted to illustrate the usefulness of the proposed models. All the proposed models constitute a class of time series models for multivariate counts which is less developed and has itself particular interest. The results obtained from the applications of the proposed models to geophysical data are promising. Of course the application field is not restricted to geophysical data only but it is wide enough to include data from many different scientific disciplines. Extensions of the models are feasible with various ways.

Εφαρμογές των διακριτών Λανθανόντων Μοντέλων Markov έχουν γίνει σε χρονολογικές σειρές συχνοτήτων γεγονότων σε διάφορα επιστημονικά πεδία όπως αναγνώριση φωνής, γενετική, σεισμολογία και οικονομικά. Στη γενική τους μορφή τα μοντέλα αποτελούνται από δύο μέρη: το πρώτο μέρος είναι μία παρατηρούμενη ακολουθία από συχνότητες γεγονότων και το δεύτερο μέρος είναι μία μη παρατηρούμενη ακολουθία καταστάσεων που αποτελούν μία Μαρκοβιανή αλυσίδα. Κάθε κατάσταση χαρακτηρίζεται από μία συγκεκριμένη κατανομή και η μετάβαση της Λανθάνουσας ακολουθίας από μία κατάσταση σε άλλη καθορίζεται από τον πίνακα πιθανοτήτων μεταπήδησης της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Το αντικείμενο μελέτης αυτής της έρευνας είναι η επέκταση αυτών των μοντέλων στην πολυμεταβλητή περίπτωση και η εφαρμογή τους σε σεισμολογικά δεδομένα από διαφορετικά σεισμοτεκτονικά περιβάλλοντα. Αυτή η επέκταση δεν είναι αυτονόητη και γίνεται σταδιακά υποθέτοντας διαφορετικές πολυμεταβλητές κατανομές να περιγράφουν τις καταστάσεις του μοντέλου.Αρχικά η επέκταση γίνεται αντιστοιχίζοντας μία πολυμεταβλητή κατανομή Poisson με κάθε κατάσταση του μοντέλου και μετά θεωρούμε μία πολυμεταβλητή κατανομή που βασίζεται στα copula για μεγαλύτερη ευελιξία. Επιλέχθησαν διαφορετικές οικογένειες copula, με διαφορετικό αριθμό παραμέτρων και ιδιότητες. Εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου γίνεται με τη χρήση του αλγόριθμου ΕΜ και αξιολόγηση της επίδοσης του με προσομοίωση από διαφορετικά σετ πραγματικών τιμών. Εφαρμογή των Λανθανόντων μοντέλων Μάρκοβ με σεισμολογικά δεδομένα παρουσιάζονται. Όλα τα προτεινόμενα μοντέλα αποτελούν μία κατηγορία μοντέλων για χρονολογικές σειρές που δεν είναι πολύ αναπτυγμένη και παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από εφαρμογές των μοντέλων σε σεισμολογικά δεδομένα είναι ενθαρρυντικά. Φυσικά τα μοντέλα αυτά δεν περιορίζονται μόνο σε εφαρμογές με γεωφυσικά δεδομένα αλλά βρίσκουν εφαρμογή σε ένα ευρύ φάσμα επιστημονικών πεδίων. Επιπλέον επεκτάσεις των μοντέλων είναι εφικτές με ποικίλους τρόπους.