Limit and deformation analysis for frame structures with mathematical programming

Abstract

This thesis concerns the determination of the ultimate structural state using mathematicalprogramming techniques. Its main objective is to highlight the inner structure and drawbacksof the existing methods and to propose new approaches that improve and enhance theirperformance. The ultimate load and state of a structure is determined by solving anoptimization problem that is based on the piecewise linearization of yield condition andconstitutive laws. For rigid-perfectly plastic behavior, limit analysis is formulated as a LinearProgramming (LP) problem expressing both the static and kinematic theorem. Incorporationof deformation constraints and/or softening behavior leads to the formulation of anoptimization problem that aims at the maximization of the load factor subjected toequilibrium, compatibility, yield and complementarity constraints. Due to the disjunctivenature of the latter, the problem becomes nonsmooth, nonconvex and numerical unstable.Thus, a penalty function formulation is used to reformulate it to a nonlinear programming(NLP) problem, the size of which is strictly related to the discretization of the yield surfaceand the constitutive laws. In this work, the main research objectives revolve around theexpression of yield condition and the incorporation of hardening/softening behavior in a moreefficient way. Therefore, yield condition is expressed following three different schemes: i) aconvex hull formulation, ii) a cone identification approach and iii) a local linearizationtechnique. According to the convex hull formulation, yield condition is given in the form of alinear combination of the vectors corresponding to all vertices that define the a priorilinearized yield hypersurface. The cone identification approach is based on the fact that forevery cross section and at each optimization iteration only one yield constraint is potentiallyor truly activated and thus only one yield constraint is required. Extending this concept for thelocal linearization technique, the critical hyperplane for each cross section is not a prioridefined, but it is determined at each optimization iteration for every stress point by locallylinearizing the yield surface. In addition, multi-linear and nonlinear hardening/softeningstructuralbehavior is embedded efficiently without affecting the size of the problem. Theherein proposed approaches uncouple the size of the problem from the linearization of theyield surface and constitutive laws, reducing accordingly the size of the complementaritycondition that is the source of numerical difficulties for the solution of the problem.Numerical results of plane and 3D steel frames prove the computational advantages of theproposed formulations for multi-component interaction and multi-linear or nonlinearstructural behavior. The main conclusions of this dissertation may constitute the central pointsof future research concerning limit analysis not only in the field of structural engineering, butalso in fracture and soil mechanics applications.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, η οριακή και παραμορφωσιακή ανάλυση διατυπώνεται στο πλαίσιο του μαθηματικού προγραμματισμού για επίπεδα και τρισδιάστατα πλαίσια. Η διατύπωση του προβλήματος εξαρτάται από τη συμπεριφορά της κατασκευής (τελείως πλαστική ή με κράτυνση/χαλάρωση (hardening/softening)) και επιπλέον απαιτήσεις, όπως περιορισμού πλαστιμότητας, επιμέρους σχεδιαστικοί περιορισμοί κτλ. Η κλασική οριακή ανάλυση των κατασκευών βασίζεται σε τελείως πλαστική συμπεριφορά, χωρίς περιορισμούς πλαστιμότητας. Για αυτήν την περίπτωση, η οριακή ανάλυση διατυπώνεται ως ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, το οποίο έχει ως στόχο τη μεγιστοποίηση του φορτικού συντελεστή με περιορισμούς ισορροπίας και διαρροής ή στη δυϊκή (dual) μορφή του, την ελαχιστοποίηση της ενέργειας με περιορισμούς συμβιβαστού παραμορφώσεων και κανονικοποίησης της ενέργειας. Η ίδια έκφραση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού δύναται να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση ισοτροπικής κράτυνσης, εστιάζοντας στον άξονα της φόρτισης και αγνοώντας τις παραμορφώσεις. Αν θεωρηθεί φθίνων κλάδος συμπεριφοράς – ερπυστικής χαλάρωσης (softening) ή/και περιορισμοί πλαστιμότητας, ανακύπτει η ανάγκη για οριακή και παραμορφωσιακή ανάλυση, περιλαμβάνοντας περιορισμούς που αποκλείουν για κάθε διατομή την ταυτόχρονη παρουσία πλαστικής παραμόρφωσης και περιθωρίων αντοχής (συνθήκη συμπληρωματικότητας). Αυτή η περίπτωση διατυπώνεται ως ένα πρόβλημα Μαθηματικού Προγραμματισμού με Περιορισμούς Ισορροπίας (Mathematical Programming with Equilibrium Constraints), οι οποίοι αναφέρονται στη συνθήκη συμπληρωματικότητας. Στόχος είναι η μεγιστοποίηση του φορτικού συντελεστή με περιορισμούς ισορροπίας, συμβιβαστού των ποαραμορφώσεων, διαρροής, συμπληρωματικότητας και άνω και κάτω ορίων για τις μετατοπίσεις και τις πλαστικές παραμορφώσεις. Το πρόβλημα αυτό μετατρέπεται σε ένα πρόβλημα μη-γραμμικού προγραμματισμού υιοθετώντας μια μέθοδο ποινής. Οι υφιστάμενες μέθοδοι βασίζονται στην εκ των προτέρων γραμμικοποίηση της συνθήκης διαρροής, συνδέοντας το μέγεθος του προβλήματος με τη διακριτοποίηση, ενώ πολυγραμμικοί νόμοι κράτυνσης/χαλάρωσης καθιστούν τα αντίστοιχα μητρώα πρακτικά μη διαχειρίσιμα κατά τη διαδικασία της βελτιστοποίησης. Η πρωτοτυπία της παρούσας εργασίας συνίσταται στον περιορισμό της πολυπλοκότητας του προβλήματος με χρήση φυσικών θεωρήσεων, οι οποίες επεμβαίνουν στην εσωτερική δομή του προβλήματος και καθιστούν το μέγεθός του ανεξάρτητο από οποιαδήποτε διακριτοποίηση. Σε αυτήν την κατεύθυνση, η συνθήκη διαρροής εκφράζεται με τρεις διαφορετικούς τρόπους: i) με θεώρηση κυρτού πολύεδρου - περιγράμματος (convex hull), ii) με εντοπισμό του κρίσιμου κώνου (cone identification) και iii) εφαρμόζοντας εσωτερική τοπική γραμμικοποίηση. Παράλληλα, ενσωματώθηκαν αποτελεσματικά πολυγραμμικοί ή μη-γραμμικοί νόμοι ισοτροπικής κράτυνσης/ερπυστικής χαλάρωσης, ενώ παράλληλα το μέγεθος της συνθήκης συμπληρωματικότητας μειώθηκε στο ελάχιστο.Πιο συγκεκριμένα, για την πρώτη περίπτωση του κυρτού πολυέδρου (convex hull), το πολύεδρο διαρροής εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων, που αντιστοιχούν στις κορυφές του και οδηγεί στην τελική έκφραση του κριτηρίου διαρροής με ισοτικούς περιορισμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των περιορισμών είναι ανεξάρτητος από τη διακριτοποίηση της επιφάνειας διαρροής, αλλά ο αριθμός των μεταβλητών αυξάνεται εξαιτίας της εισαγωγής ενός συνόλου μη-αρνητικών παραμέτρων. Η προτεινόμενη θεώρηση συγκρίνεται με την υπάρχουσα, η οποία εκφράζει τη συνθήκη διαρροής ως τομή ημιχώρων. Οι δύο διατυπώσεις διαφέρουν ως προς τον αριθμό των μεταβλητών και των περιορισμών και διερευνήθηκε η αποτελεσματικότητά τους για αλληλεπίδραση αξονικής δύναμης-καμπτικής ροπής και αξονικής-τέμνουσας δύναμης-καμπτικής ροπής. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης επίπεδων, μεταλλικών πλαισίων, αποδεικνύουν τα υπολογιστικά πλεονεκτήματα της διατύπωσης του κριτηρίου διαρροής με χρήση κυρτού πολυέδρου για το στατικό θεώρημα και για τις δυο περιπτώσεις αλληλεπίδρασης.Η ιδέα του εντοπισμού του κρίσιμου κώνου (cone identification) βασίζεται στο γεγονός ότι σε κάθε επανάληψη του αλγόριθμου βελτιστοποίησης, η εντατική κατάσταση κάθε διατομής ανήκει σε έναν συγκεκριμένο κώνο στοχεύοντας ή ενεργοποιώντας ένα μόνον επίπεδο διαρροής. Για αυτόν τον λόγο, αναπτύχθηκε αλγόριθμος, ο οποίος εντοπίζει τον κρίσιμο κώνο του γραμμικοποιημένου διαγράμματος αλληλεπίδρασης, στον οποίο ανήκει κάθε διατομή. Κατόπιν, ο περιορισμός διαρροής μορφώνεται για κάθε διατομή μόνο για το ευθύγραμμο τμήμα που αντιστοιχεί στον κώνο, σε αντίθεση με την υφιστάμενη μέθοδο, η οποία για κάθε διατομή διατυπώνει ισάριθμους περιορισμούς διαρροής με το πλήθος των ευθυγράμμων τμημάτων του κριτηρίου διαρροής. Κατά αυτόν τον τρόπο, το πλήθος των περιορισμών μειώνεται σημαντικά και το πρόβλημα γίνεται ανεξάρτητο από τη γραμμικοποίηση της επιφάνειας διαρροής. Προτάθηκαν δύο απλές μέθοδοι για τον εντοπισμό του κρίσιμου κώνου για δισδιάστατα και τρισδιάστατα κριτήρια διαρροής. Επίσης, ενσωματώθηκαν νόμοι πολυγραμμικής ή μη-γραμμικής κράτυνσης/ερπυστικής χαλάρωσης (hardening/softening), χωρίς να επηρεάζεται το μέγεθος του προβλήματος. Στην περίπτωση της πολυγραμμικής κράτυνσης, εντοπίζεται το ευθύγραμμο τμήμα κράτυνσης, το οποίο αντιστοιχεί σε κάθε διατομή, μορφώνονται τα μητρώα κράτυνσης μόνο για το τμήμα αυτό (και όχι για όλα τα δυνατά). Στην περίπτωση της μη-γραμμικής κράτυνσης, ο υπολογισμός του μεγεθυμένου/συρρικνωμένου ορίου διαρροής είναι άμεσος και προκύπτει από την τιμή του πλαστικού πολλαπλασιαστή. Κατ’επέκτασιν μειώνεται το πλήθος των συνθηκών συμπληρωματικότητας, οι οποίες λόγω του διακριτού χαρακτήρα τους είναι πηγή αριθμητικής αστάθειας του προβλήματος βελτιστοποίησης. Η προτεινόμενη μέθοδος εφαρμόστηκε για την ανάλυση επίπεδων μεταλλικών πλαισίων υπό την αλληλεπίδραση αξονικής-ροπής και αξονικής-τέμνουσας δύναμης-ροπής.Επεκτείνοντας την ιδέα εντοπισμού του κρίσιμου κώνου, εφαρμόστηκε τεχνική τοπικής γραμμικοποίησης του κριτηρίου διαρροής για κάθε διατομή, σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου βελτιστοποίησης. Σύμφωνα με την προτεινόμενη διαδικασία, τα επίπεδα διαρροής δεν είναι εκ των προτέρων καθορισμένα, αλλά προσδιορίζονται για κάθε διατομή, σε κάθε επανάληψη. Αυτή η διαδικασία παρέχει ακριβέστερες λύσεις, ενώ παράλληλα αποφεύγεται η εκ των προτέρων γραμμικοποίηση του κριτηρίου διαρροής. Επιπλέον, και για αυτήν τη θεώρηση, ενσωματώθηκαν νόμοι πολυγραμμικής ή μη-γραμμικής κράτυνσης/ερπυστικής χαλάρωσης (hardening/softening), χωρίς να επηρεάζεται το μέγεθος του προβλήματος.Η οριακή και παραμορφωσιακή ανάλυση με χρήση μαθηματικού προγραμματισμού εφαρμόστηκε και σε τρισδιάστατα μεταλλικά πλαίσια, υιοθετώντας τις προαναφερθείσες θεωρήσεις.