Συγκλίσεις ακολουθιών μέτρων και μετρήσιμων συναρτήσεων

Abstract

In this dissertation we introduce new notions of convergence of measure sequences and using them we strengthen and extend classical limit theorems of Measure Theory like the convergence theorems of Nikodým, Brooks-Jewett, Vitali-Hahn-Saks and Schur. Moreover we define and study new notions of convergence for sequences of measurable functions which are weaker than the classical convergence in measure. Using these we prove new density theorems in ℝ. We consider the modes of convergence mentioned in the dissertation to be useful in the research in Probability Theory (e.g. in the study of ultra-weak laws of large numbers), in Topology (e.g. in the study of density topologies) and in Functional Analysis (e.g. in the study of function spaces of Baire-type and Ascoli-type theorems).

Στην διατριβή αυτή εισάγονται νέες έννοιες σύγκλισης ακολουθιών μέτρων και με τη βοήθεια αυτών ισχυροποιούνται και επεκτείνονται κλασικά οριακά θεωρήματα της Θεωρίας Μέτρου όπως τα θεωρήματα σύγκλισης Nikodým, Brooks-Jewett, Vitali-Hahn-Saks και Schur. Επίσης ορίζονται και μελετούνται νέες έννοιες σύγκλισης για ακολουθίες μετρησίμων συναρτήσεων που είναι ασθενέστερες της κλασικής σύγκλισης κατά μέτρο. Με τη βοήθεια αυτών των συγκλίσεων αποδεικνύονται θεωρήματα πυκνότητας στο ℝ. Οι τρόποι σύγκλισης που αναφέρονται στην διατριβή θεωρούμε ότι μπορούν να είναι πρόσφορες στην έρευνα της Θεωρίας Πιθανοτήτων (π.χ. με τη μελέτη υπερασθενών νόμων των μεγάλων αριθμών), της Τοπολογίας (π.χ. με τη μελέτη τοπολογιών πυκνότητας) και της Συναρτησιακής Ανάλυσης (π.χ. με τη μελέτη χώρων συναρτήσεων τύπου Baire και θεωρημάτων τύπου Ascoli).