Applications of Markov chains and convex sets in ridk management

Abstract

In this dissertation we examine the conditions under which a model with a large number of elements can be approximated by a new, simpler one, consisting of a smaller number of elements, without missing the qualitative features of the initial model. The certain conditions facilitate the analysis of large and complex systems that are widely used in studies. We apply our research in two important tools for credit risk management: credit ratings and credit scoringParticularly, we first introduce Markov Chains as a model of the stochastic evolution of credit ratings and then consider the conditions under which a Markov chain is lumpable. We review briefly the definition and characterization of an exactly lumpable Markov chain and through an example of a credit migration matrix we show that in general these conditions are not satisfied. We then introduce the concept of approximate lumpability, and we propose a procedure for finding a lumpable Markov chain that is the closest approximation of the original (non lumpable) Markov chain, in an appropriate norm.We also consider the question of when the existence of a credit scoring system is possible, i.e. provide a very simple test as to whether for a given set of customers, a reliable scoring rule can exist, and if so, provide a candidate for that. Our approach, which is based on a theorem of separating hyperplanes, due to Kirchberger, allows to answer this question by working with a minimal subset of the borrowers data base, thus leading to a very fast and reliable test on whether a scoring system exists or not. Our method is illustrated by a fully worked example

Στη συγκεκριμένη διατριβή εξετάζουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες ένα μοντέλο με πολλά στοιχεία μπορεί να προσεγγιστεί από ένα άλλο, πιο απλό μοντέλο αποτελούμενο από λιγότερα στοιχεία, χωρίς το τελευταίο να χάνει τις ιδιότητες του αρχικού μοντέλου. Οι εν λόγω συνθήκες διευκολύνουν την ανάλυση μεγάλων και πολύπλοκων συστημάτων. Εφαρμόζουμε την έρευνά μας σε δύο πολύ βασικά εργαλεία διαχείρισης πιστωτικού κινδύνου: τις πιστωτικές διαβαθμίσεις (credit ratings) και το την πιστωτική βαθμολόγηση (credit scoring). Αρχικά, παρουσιάζουμε τον ορισμό και κάποιες βασικές ιδιότητες των διαδικασιών Markov. Στη συνέχεια εκθέτουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μία αλυσίδα Markov, που περιγράφει την στοχαστική ανέλιξη των πιστωτικών διαβαθμίσεων, μπορεί να συσσωρευτεί σε μία μικρότερη αλυσίδα η οποία διατηρεί τη Μαρκοβιανή ιδιότητα, να είναι δηλ. «lumpable». Επιπλέον, παραθέτουμε τον ορισμό και τις ιδιότητες μιας απόλυτα συσσωρευόμενης («Exactly Lumpable») αλυσίδας Markov και, μέσω ενός παραδείγματος, αποδεικνύουμε ότι γενικά οι συγκεκριμένες ιδιότητες δεν ικανοποιούνται πάντα. Στο πλαίσιο αυτό, εισάγουμε την έννοια προσεγγιστικής συσσώρευσης («Approximate Lumpability»), και προτείνουμε μία διαδικασία ανεύρεσης αλυσίδας Markov, η οποία να είναι αφενός συσσωρεύσιμη και αφετέρου όσο το δυνατόν πιο κοντά στην αρχική αλυσίδα που δεν έχει τη συγκεκριμένη ιδιότητα. Ακόμα, εξετάζουμε το ερώτημα της ύπαρξης ή μη ενός αξιόπιστου κανόνα πιστωτικής βαθμολόγησης ενός συνόλου πελατών που αιτούνται δάνειο. Η έρευνά μας, που βασίζεται σε ένα θεώρημα διαχωρισμού υπερεπιπέδων του Kirchberger, απαντάει στο εν λόγω ερώτημα, καθώς τέτοιος κανόνας είναι εφικτό να δημιουργηθεί μέσω της εξέτασης ενός μικρού μόνο δείγματος δανειστών-πελατών, και όχι ολόκληρου του συνόλου τους, καταλήγοντας έτσι σε ένα γρήγορο και αξιόπιστο μοντέλο πιστωτικής βαθμολόγησης. Η μέθοδός μας αυτή παρουσιάζεται σε σχετική εκτενή εφαρμογή.