Αριθμητική επίλυση προβλημάτων βαθμοελαστικότητας

Abstract

In the present Doctoral Thesis a boundary element methodology (BEM) is developed in order to solve numerically 3-D and axis-symmetric static gradient elastic problems. Microstructural effects on the macroscopic behavior of the considered materials have been taken into account by means of a simple strain gradient theory with surface energy obtained as a special case of the general one due to Mindlin, proposed by Vardoulakis and Sulem. All possible boundary conditions (classical and non-classical) have been determined with the aid of a variational statement of the problem. The fundamental solution of the gradient elastic with surface energy has been explicitly determined and used to establish the boundary integral representation of the solution of the problem with the aid of the reciprocal identity, specifically constructed for this gradient elastic with surface energy case. The boundary integral representation consists of one equation for the dispalcement and another one for its normal derivative. Also, the integral forms of the gradient of displacement as well as the Cauchy, relative, double and total stresses in the interior of the gradient elastic body have been derived and presented. The numerical implementation of the integral equations is accomplished with the aid of quadratic isoparametric line (axis-symmetry case) and surface (3-D case) boundary elements. The computation of the singular and hyper-singular integrals involved is done with the aid of highly accurate advanced algorithms.

Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων για την αριθμητική επίλυση τρισδιάστατων (3-D) στατικών προβλημάτων στα πλαίσια μιας θεωρίας βαθμοελαστικότητας, που στηρίζεται σε μια απλουστευμένης μορφής της θεωρίας του Mindlin και διατυπώθηκε από τους Vardoulakis and Sulem, η οποία λαμβάνει υπόψη και την επιφανειακή ενέργεια, και από τους Aifantis και συνεργάτες. Η διδακτορική διατριβή αποτελείται από δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα (κεφάλαια 1 και 2) γίνεται μία πλήρης ανασκόπηση της βιβλιογραφίας ως προς τις θεωρίες βαθμοελαστικότητας και στη συνέχεια, περιγράφεται διεξοδικά η παρούσα θεωρία βαθμοελαστικότητας με επιφανειακή ενέργεια. Στη δεύτερη ενότητα παρουσιάζεται η μέθοδος των Συνοριακών Στοιχείων (ΜΣΣ) όπως αυτή εφαρμόζεται για την επίλυση τρισδιάστατων και αξονοσυμμετρικών βαθμοελαστικών προβλημάτων, αντίστοιχα. Η ΜΣΣ βασίζεται στη διατύπωση των ολοκληρωτικών εξισώσεων των βαθμοελαστικών προβλημάτων. Οι άγνωστοι των ολοκληρωτικών εξισώσεων είναι οι συνοριακές τιμές του βασικού πεδίου των μεταβλητών και οι παράγωγοί τους, που για τη βαθμοελαστικότητα είναι τα διανύσματα των μετατοπίσεων, των βαθμίδων τω μετατοπίσεων και τα διανύσματα των επιφανειακών τάσεων. Η προσέγγιση των συναρτήσεων αυτών πάνω στο σύνορο γίνεται με τη βοήθεια συναρτήσεων παρεμβολής από τις αντίστοιχες τιμές τους σε έναν επιλεγμένο αριθμό κόμβων. Η ταχύτητα και η ακρίβεια της ΜΣΣ κατά την εφαρμογή της επηρεάζεται σημαντικά από την ταχύτητα και την ακρίβεια του υπολογισμού των ιδιόμορφων και υπερ-ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων. Στην παρούσα διατριβή τα ιδιόμορφα και υπερ-ιδιόμορφα ολοκληρώματα υπολογίζονται με τη χρήση τεχνικών ιδιόμορφης και υπερ-ιδιόμορφης ολοκλήρωσης (Guiggiani (1992) και Huber et al. (1993)) αντίστοιχα. Στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής κατασκευάστηκε αλγόριθμος που επιλύει τρισδιάστατα στατικά προβλήματα βαθμοελαστικότητας καθώς και αλγόριθμος που επιλύει στατικά βαθμοελαστικά προβλήματα με αξονική συμμετρία. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου, επιλύονται αντίστοιχα στατικά βαθμοελαστικά προβλήματα με ή χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η επιφανειακή ενέργεια και με γνωστές αναλυτικές λύσεις. Τα αριθμητικά αποτελέσματα των παραπάνω προβλημάτων συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αναλυτικά. Τέλος, γίνεται μία ανακεφαλαίωση της διδακτορικής διατριβής και διατυπώνονται προτάσεις για μελλοντική έρευνα.