Ο ρόλος της θεωρίας της ασυμμετρίας και αρρητότητας στην ανάπτυξη αρτιότερης επιστημονικής γνώσης και η συμβολή της στο περιεχόμενο και τη διδασκαλία των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση

Abstract

The thesis aims: a. To review the literature that contributed to the development of the theory of incommensurable magnitudes and irrational numbers and its role in development of scientific knowledge down the foundation of real numbers (R). b. To develop an approach of understanding the irrational number approximations for high school students. c. To investigate high school students’ level of knowledge on real numbers, formal and intuitive difficulties in understanding irrational numbers and their relation with incommensurable magnitudes. Methods: Questionnaires were used to find: (i) Students’ basic knowledge on real number. (ii) Students’ intuitive attitude, regarding the concept of infinity and the function of measurement. (iii) Students’ perception in relation to geometrical interpretation of incommensurable ratio with irrationality. Conclusions: -The analytic programs for mathematics of secondary education do not promote the basic knowledge of numerical system. As a result of this fact, students do not comprehense the concept of real numbers. - In relation to the intuition, it was found that the sample had difficulty to accept the geometrical relation of irrationality to the concept of incommensurability. - The concept of limit and approach are interfered with finitude procedures.

Στόχοι διατριβής: α. Η μελέτη της θεωρίας των ασύμμετρων μεγεθών και των άρρητων αριθμών και ο ρόλος της στην ανάπτυξη επιστημονικής γνώσης διαχρονικά μέχρι την αυστηρή θεμελίωση του R. β. Η έρευνα των ρητών προσεγγίσεων άρρητων αριθμών για μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης και οι τρόποι με τους οποίους μπορούν να γίνουν κατανοητοί. γ. Η ανίχνευση των γνώσεων των μαθητών για το σύνολο R. Η έρευνα των τυπικών και διαισθητικών δυσκολιών που αντιμετωπίζουν στην αναγνώριση άρρητων αριθμών και τη σχέση τους με την ασυμμετρία μεγεθών. Μεθοδολογία: Χρησιμοποιήθηκαν ερωτηματολόγια για να ανιχνεύσουν: (i) Την τυπική γνώση του δείγματος σχετικά με τους πραγματικούς αριθμούς, (ii) Την διαισθητική τους στάση προς τη φύση της έννοιας του απείρου και τη λειτουργία της μέτρησης, (iii) Την αντίληψή τους ως προς τη γεωμετρική ερμηνεία των ασύμμετρων λόγων με την αρρητότητα. Αποτελέσματα: - Η έννοια του πραγματικού αριθμού δεν είναι πλήρως κατανοητή από τους μαθητές, ως αποτέλεσμα της περιορισμένης παρουσίασης του συνόλου των άρρητων αριθμών στα αναλυτικά προγράμματα για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. - Λείπει από το δείγμα η διασθητική λειτουργία της μέτρησης, που συνδέει γεωμετρικά τα ασύμμετρα μεγέθη με τους άρρητους και τα σύμμετρα μεγέθη με τους ρητούς. - Συγχαίονται οριακές έννοιες με πεπερασμένες διαδικασίες. - Διατυπώνονται προτάσεις, με βάση τα συμπεράσματα της έρευνας, προς τη βελτίωση της διδασκαλίας του συνόλου των άρρητων αριθμών στο σύνολο R.