Formalizing constructive analysis: A comparison of minimal systems and a study of uniqueness principles

Abstract

This dissertation investigates certain aspects of the formalization and axiomatization of constructive analysis. The research in the branches of constructive analysis corresponding to the various forms of constructivism is carried out in a multitude of formal or informal systems, whose relations are unclear. This problem becomes quite crucial for the development of the relatively new field of constructive reverse mathematics. This work contributes to a clearer picture. Part 1 contains a precise comparison of the two most widely used systems which formalize the common core of constructive, intuitionistic, recursive and classical analysis, namely Kleene's M and Troelstra's EL. It is shown that EL is weaker than M and that their difference is captured by a function existence principle asserting that every decidable predicate of natural numbers has a characteristic function. Applying similar arguments, comparisons of most of the used minimal systems are obtained. In constructive analysis, various forms of choice principles, continuity principles and many others are used. Part 2 studies relations between many of them, in their versions having a uniqueness condition, a feature from which interesting properties follow, as well as relations between these principles and non-constructive logical principles, in the spirit of reverse mathematics.

Αυτή η διατριβή εξετάζει ορισμένες πλευρές της τυποποίησης και της αξιωματικοποίησης της κατασκευαστικής ανάλυσης.Η έρευνα στους κλάδους της κατασκευαστικής ανάλυσης που αντιστοιχούν στις διάφορες εκδοχές κατασκευαστικότητας διεξάγεται σε μια πλειάδα τυπικών ή όχι συστημάτων, των οποίων οι σχέσεις είναι ασαφείς. Αυτό το πρόβλημα αποβαίνει κρίσιμο για την ανάπτυξη της σχετικά νέας περιοχής των κατασκευαστικών ανάστροφων μαθηματικών. Η εργασία αυτή συμβάλλει σε μια πιο καθαρή εικόνα.Το Μέρος 1 περιέχει μία ακριβή σύγκριση των δύο ευρύτερα χρησιμοποιούμενων συστημάτων που τυποποιούν τον κοινό πυρήνα της κατασκευαστικής, της ενορατικής, της αναδρομικής και της κλασικής ανάλυσης, των Μ και EL, των Kleene και Troelstra, αντιστοίχως. Αποδεικνύεται ότι το EL είναι ασθενέστερο από το M και ότι η διαφορά τους αποτυπώνεται σε μια αρχή η οποία εγγυάται την ύπαρξη χαρακτηριστικής συνάρτησης για κάθε αποκρίσιμο κατηγόρημα φυσικών αριθμών. Με παρόμοια επιχειρήματα προκύπτουν συγκρίσεις για τα περισσότερα από τα χρησιμοποιούμενα ελαχιστικά συστήματα.Στην κατασκευαστική ανάλυση χρησιμοποιούνται διάφορες αρχές επιλογής, συνέχειας και άλλες. Στο Μέρος 2, μελετώνται σχέσεις μεταξύ πολλών από αυτές, στις εκδοχές τους με μία συνθήκη μοναδικότητας, ένα χαρακτηριστικό από το οποίο απορρέουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες, καθώς και σχέσεις μεταξύ αυτών των αρχών και μη κατασκευαστικών λογικών αρχών, στο πνεύμα των ανάστροφων μαθηματικών.