Διατεταγμένοι χώροι και εφαρμογές στη μαθηματική χρηματοοικονομία

Abstract

The PhD thesis is composed of two parts. In the first part we study the structure of Banach spaces through the geometry of cones. In particular, in chapter two we give cone characterizations of reflexive spaces, spaces that contains and Grothendieck spaces. Also, we prove that every ordered Banach space with closed, normal cone and an order unit that satisfies the CIP is a Grothendieck space. In chapter three, we define the notion of reflexive cones and study their structure. In the second part, we use the theory of lattice-subspaces and positive bases (Chapter 4), which has been developed by I.A. Polyrakis, in order to study the problem of replication of options in finite markets (Chapter 5).

Η παρούσα διατριβή χωρίζεται σε δύο λογικές ενότητες. Στην πρώτη λογική ενότητα, που αντιστοιχεί στα κεφάλαια 2-3 μελετάμε την δομή των χώρων Banach μέσω της γεωμετρίας των κώνων. Ειδικότερα στο κεφάλαιο δυο, δίνουμε κωνικούς χαρακτηρισμούς της ανακλαστικότητας, των χώρων που περιέχουν τον και των χώρων Grothendieck. Επίσης, αποδεικνύουμε ότι κάθε διατεταγμένος χώρος Banach με κλειστό, normal και διατακτική μονάδα που έχει την CIP είναι χώρος Grothendieck. Στο κεφάλαιο 3 εισάγουμε την έννοια των ανακλαστικών κώνων και μελετάμε τη δομή τους. Στη δεύτερη λογική ενότητα χρησιμοποιούμε την θεωρια των θετικών βάσεων και των lattice-subspace(κεφ. 4) που έχει αναπτυχθεί από τον Επιβλέπων Ι.Α. Πολυράκη για να μελετήσουμε το πρόβλημα του replication δικαιωμάτων σε πεπερασμένες οικονομίες.