Προβλήματα ρωγμών μικτού τύπου: εφαρμογή στην περίπτωση του ρηγματωμένου βραζιλιανού δίσκου

Abstract

The main object of this dissertation is the confrontation of the theoretical overlapping of the lips of mixed mode cracks which is met in the 1st Fundamental Problem renders it in that case physically unacceptable. The confrontation of the phenomenon consists in the correction of the 1st Fundamental Problem and is done in the field of linear elasticity for the infinite cracked plate and the cracked Brazilian disc by using complex analysis and specifically, the theory of partially holomorphic functions. The confrontation removal of the overlapping is achieved with the aid of two parameters τ and δ which are related with the friction on the crack lips. The τ and δ are percentages of the inverse elliptic terms of the displacements of the 1st Fundamental Problem (Initial problem) that are responsible for the overlapping and are set as boundary conditions on the crack lips in a Mixed Fundamental Problem (Inverse). By the superimposition of this Mixed problem (Inverse) to the 1st Fundamental Problem one takes a physically acceptable Mixed Fundamental Problem (Final General) without overlapping. Furthermore, instead of the overlapping stresses are obtained along the crack lips. These stresses provide the contact stresses on the crack in the actual problem after the abstraction of some part of them called parasitic stresses (which are appeared because of the Poisson phenomenon). The Final cured (without overlapping) General Mixed Fundamental Problem replaces the 1st Fundamental Problem (Initial) actually it contains it and is reduced to it in the case that there is no overlapping In order for the above procedure to be applied to the cracked Brazilian disc are firstly obtained the closed form solutions of the 1st Fundamental Problem for the intact and the cracked Brazilian disc in the case of uniformly distributed radial loading along two symmetric arcs on their periphery. The closed form solution for the cracked disc is an approximate one based on the assumption of small dimensioned crack in relevance to the radius of the disc. Finally, the expressions for the stress intensity factors are obtained in the case of the Mixed Fundamental Problem (the Inverse and the Final General one). Actually, these expressions do not depend on the material in spite of the fact that they come up from the displacements on the crack lips which involve the material.

Αντικείμενο της διατριβής είναι η αντιμετώπιση της θεωρητικής αλληλοεπικάλυψης των χειλέων ρωγμών μικτού τύπου που εμφανίζεται στο 1° θεμελιώδες Πρόβλημα καθιστώντας το σ’ αυτήν την περίπτωση μη αποδεκτό από φυσικής άποψης. Η αντιμετώπιση του φαινομένου συνίσταται στη «διόρθωση» του 1ου θεμελιώδους Προβλήματος και γίνεται στην άπειρη ρηγματωμένη πλάκα και στο ρηγματωμένο Βραζιλιάνο δίσκο στα πλαίσια της κλασικής επίπεδης γραμμικής ελαστικότητας με χρήση μιγαδικής ανάλυσης και ειδικότερα της θεωρίας των τμηματικά ολόμορφων συναρτήσεων. Η αντιμετώπιση άρση της αλληλοεπικάλυψης γίνεται με τη βοήθεια δύο παραμέτρων τ και δ σχετικών της τριβής στα χείλη της ρωγμής. Τα τ και δ είναι ποσοστά των αντίστροφων ελλειπτικών όρων των μετατοπίσεων του 1ου θεμελιώδους Προβλήματος (Αρχικού προβλήματος) υπεύθυνων για την αλληλοεπικάλυψη και τίθενται ως συνοριακές συνθήκες στη ρωγμή σε ένα Μικτό θεμελιώδες Πρόβλημα («Αντίστροφο»). Έτσι από την υπέρθεση του Μικτού αυτού προβλήματος («Αντίστροφου») στο 1° θεμελιώδες Πρόβλημα προκύπτει ένα Μικτό θεμελιώδες Πρόβλημα (Τελικό Γενικό) φυσικά αποδεκτό χωρίς αλληλοεπικάλυψη. Αντί δε της αλληλοεπικάλυψης υπολογίζονται τάσεις στα χείλη της ρωγμής εκ των οποίων με τη μη θεώρηση τμήματος των (παρασιτικές τάσεις λόγω Poisson) προσεγγίζονται οι τάσεις επαφής κατά μήκος της ρωγμής στο πραγματικό πρόβλημα. Το Τελικό Γενικό Μικτό θεμελιώδες Πρόβλημα χωρίς το πρόβλημα της αλληλοεπικάλυψης αντικαθιστά πλέον το 1° θεμελιώδες Πρόβλημα (Αρχικό) εμπεριέχοντας το ταυτιζόμενο με αυτό στην περίπτωση μη αλληλοεπικάλυψης. Για την εφαρμογή της διαδικασίας στο ρηγματωμένο Βραζιλιάνο δίσκο λύνονται προηγουμένως σε κλειστή μορφή (τάσεις και μετατοπίσεις σε κάθε σημείο του δίσκου) ο αρηγμάτωτος και ο ρηγματωμένος Βραζιλιάνος δίσκος υπό ομοιόμορφη ακτινική θλίψη σε δύο συμμετρικά κείμενα τόξα της περιμέτρου των. Η κλειστή λύση του ρηγματωμένου Βραζιλιάνου δίσκου είναι προσεγγιστική βασιζόμενη στη θεώρηση ρωγμής μικρών διαστάσεων σε σχέση με την ακτίνα του δίσκου. Επίσης, ορίζονται οι συντελεστές εντάσεως των τάσεων στο Μικτό θεμελιώδες Πρόβλημα («Αντίστροφο» και Τελικό Γενικό) για την άπειρη ρηγματωμένη πλάκα και το ρηγματωμένο Βραζιλιάνο δίσκο οι οποίοι κατά φυσικό τρόπο προκύπτουν ανεξάρτητοι του υλικού.