High dimensional time-varying covariance matrices with applications in finance

Abstract

Scope of this Thesis is to provide contribution in the area of Multivariate Volatility modeling, which involves developing models that can adequately describe the Covariance matrix process of Multivariate financial time series. Development of efficient algorithms for Bayesian model estimation using Markov Chain Monte Carlo (MCMC) and Nested Laplace approximations is the main objective in order to provide parsimonious and flexible volatility models.

Detailed review of Univariate Volatility models for financial time series is first introduced. The historical background of each model proposed is illustrated and its properties and advantages are discussed. The several estimation methods that have emerged are also commented. A comparative analysis via a small simulation example for the dominant models in the literature is provided. Continuing the review from the univariate models, the multivariate case follows and competing models for Covariance matrices are extensively presented. Main argument is that currently no model captures the dynamics of higher dimensional Covariance matrices fully, but their relative performance and applicability depends on the dataset and problem of interest. Problems are mainly due to the positive definiteness constraints required by most models as well as lack of interpretability of the model parameters in terms of the characteristics of the financial series. In addition, model development so far focus mostly in parameter estimation and in sample fit; the out-of-sample fit perspective of these models is now also examined. The review section concludes by proposing some small improvements for existing models towards more efficient parameter estimates, faster estimation methods and accurate forecasts.

A new class of multivariate volatility models based on the Spectral decomposition of the time changing covariance matrix and the incorporation of autocorrelation modeling for the time changing elements. All elements of the covariance matrix are now a priori allowed to be time changing as independent autoregressive processes and then for any given dataset the prior information is updated and the number of time changing elements is decided. Theoretical properties of the new model are presented along with a series of estimation methods, Bayesian and classical. To estimate these models it is suggested to use an MCMC method for small dimension portfolios in terms of the size of the covariance matrix. For higher dimensions a Nested Laplace approximation approach should be used that provides results much faster with small loss in accuracy.

The performance of the proposed model against competing ones in simulated and real datasets is discussed. Results indicate that the new model provides significantly better estimates and projections than current models in the majority of example datasets. In addition, the new model allows for parameter interpretability and parsimony which is of huge importance due to the dimensionality curse. The Thesis concludes by providing some proposals for future research.

Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η συμβολή στις περιοχές της μοντελοποίησης της διακύμανσης με υποδείγματα τα οποία περιγράφουν τον πίνακα διακύμανσης πολυμεταβλητών χρονολογικών σειρών. Η κατασκευή αλγορίθμων που θα επιτρέπουν την Μπεϋζιανή εκτίμηση των υποδειγμάτων με χρήση τεχνικών `Markov Chain Monte Carlo' (MCMC), αλλά και φωλιασμένων προσεγγίσεων Laplace αποτελούν το λάκτισμα με απώτερο στόχο την κατασκευή ευέλικτων υποδειγμάτων με μικρό πλήθος παραμέτρων.

Αρχικά παρατίθεται μια αναλυτική ανασκόπηση μονομεταβλητών υποδειγμάτων που αναπτυχθήκαν για την ανάλυση χρονολογικών σειρών οικονομικών δεδομένων. Ειδικότερα παρουσιάζεται το ιστορικό υπόβαθρο κάθε υποδείγματος και ακολουθεί λεπτομερής σχολιασμός των ιδιοτήτων και πλεονεκτημάτων του ενώ το ίδιο γίνεται και για τις μεθόδους εκτίμησης του. Επίσης προχωρήσαμε στην σύγκριση των προβλεπτικών ικανοτήτων για τα επικρατέστερα υποδείγματα της βιβλιογραφίας με χρήση προσομοιωμένων δεδομένων. Συνεχίζοντας την ανασκόπηση ακολουθούν τα πολυμεταβλητά υποδείγματα. Το βασικότερο κενό στη βιβλιογραφία είναι ότι δεν υπάρχει κάποιο υπόδειγμα μέχρι στιγμής το οποίο να μπορεί να αποτυπώσει πλήρως τα χαρακτηριστικά των πινάκων διακύμανσης μεγάλων διαστάσεων παρά μόνο αποτελούν μερικές λύσεις που αφορούν συγκεκριμένες περιπτώσεις.

Τα προβλήματα επικεντρώνονται κυρίως στο γεγονός ότι χρειάζεται να είναι θετικά ορισμένος ο υπό εκτίμηση πίνακας, ενώ και η ερμηνεία των παραμέτρων δεν σχετίζεται άμεσα με τις ιδιότητες των χρηματοοικονομικών δεδομένων. Επιπροσθέτως, οι υπάρχουσες μέθοδοι επιλογής του βέλτιστου υποδείγματος επικεντρώνονται στην ακρίβεια των υπό εκτίμηση παραμέτρων και την καλή προσαρμογή στα παρατηρούμενα δεδομένα. Στόχος αποτελεί η περαιτέρω εξέταση της προβλεπτικής συμπεριφοράς των υποδειγμάτων. Η ανασκόπηση ολοκληρώνεται με μερικές βελτιώσεις στα υπάρχοντα υποδείγματα οι οποίες οδηγούν σε αποτελεσματικότερες εκτιμήσεις των παραμέτρων τους, ταχύτερη διαδικασία εκτίμησης και ακριβέστερες προβλέψεις.

Στη συνέχεια εισάγεται μια νέα κατηγορία υποδειγμάτων που βασίζονται στο Φασματική Ανάλυση των μεταβαλλόμενων στο χρόνο πινάκων διακύμανσης και την εισαγωγή υποδειγμάτων αυτοσυσχέτισης για κάθε ένα από τα στοιχεία του πίνακα. Αρχικά όλα τα στοιχεία του πίνακα θεωρούνται μεταβαλλόμενα στο χρόνο ακολουθώντας ανεξάρτητα αυτοπαλίνδρομες διαδικασίες και στη συνέχεια λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα ανανεώνουμε τις αρχικές μας πεποιθήσεις και καταλήγουμε στο πλήθος των στοιχείων που είναι μεταβλητά στο χρόνο. Οι θεωρητικές ιδιότητες του προτεινόμενου υποδείγματος παρατίθενται συνοδευόμενες από μεθόδους εκτίμησης Μπεϋζιανές και κλασσικές. Για μικρά χαρτοφυλάκια συνιστάται να χρησιμοποιείται η μέθοδος που βασίζεται στις τεχνικές `Markov Chain Monte Carlo' (MCMC), ενώ για μεγαλύτερα ενδείκνυται η χρήση των φωλιασμένων προσεγγίσεων Laplace τα οποία παράγουν ταχύτερα αποτελέσματα και με μικρή απώλεια από πλευράς ακρίβειας.

Τέλος εξετάζεται η καλή προσαρμογή των υπαρχόντων υποδειγμάτων έναντι του προτεινόμενου σε προσομοιωμένα και πραγματικά δεδομένα. Τα αποτελέσματα είναι ενθαρρυντικά καθώς το νέο υπόδειγμα οδηγεί σε σημαντικά καλύτερη προσαρμογή και προβλεπτική ικανότητα. Ταυτόχρονα το νέο υπόδειγμα οδηγεί σε παραμέτρους οι οποίες είναι εύκολα ερμηνεύσιμες ενώ το πλήθος τους παραμένει μικρό το οποίο είναι πολύ σημαντικό δεδομένου ότι το πρόβλημα μας ανήκει σε χώρο πολλών διαστάσεων. Στο τέλος παρατίθενται μερικές ιδέες για την περαιτέρω εξέλιξη της συγκεκριμένης κατηγορίας υποδειγμάτων.