Design optimization of structures subjected to stochastic excitations

Abstract

This thesis focuses on the optimal design of structures under the influence of stochastic dynamic loads, with applications to the sizing and topology optimization of truss structures. Furthermore, the study investigates the fatigue lifetime prediction of structures under stochastic dynamic loading. Finally, the design optimization framework is extended to incorporate performance functions related to fatigue lifetime of structures subject to stochastic dynamic loading. Specifically, an innovative methodology for optimizing structures under stochastic dynamic excitations is proposed. The objective function related to the performance of the structure is constructed as a weighted sum of the variance of the structural response quantities of interest. Such response quantities are selected to be the displacements at the nodes of the system, stresses or strains developed in the structural parts, drift ratios etc. The excitations are modeled by white noise or filtered white noise processes. The variance of the response quantities are very efficiently estimated by solving the Lyapunov equation for the system. The adjoint method is developed to analytically estimate the sensitivities of the objective function with respect to the design parameters. This substantially increases the computational efficiency of the proposed methodology. The required computational effort for estimating the derivatives of the objective function is shown to be independent of the number of the design variables. Furthermore, the proposed methodology is extended to handle in the optimization the formulation of the response in the modal space. This exploits the benefits of using limited number of modes for the estimation of the system response The proposed design optimization of dynamic systems is applied for addressing the problem of size and topology optimization of truss structures. A specific class of two dimensional truss structure subject to Gaussian white noise excitation is considered to demonstrate the theoretical developments. Using different types of performance functions, such as the weighted sum of the nodal displacements and the weighted sum of the stresses developed in the truss members, the structures is optimized in size and topology in order to find the optimal configuration that optimizes the performance. The results are compared to available design optimization results of the truss structures subject to deterministic static loading. The analysis in modal space is also applied on the truss structure, in order to explore the effect of using limited number of contributing modes in the estimation of the response and finally investigate their effect on optimal design. A novel methodology for the fatigue reliability assessment of randomly vibrating multi-degree of freedom systems is also proposed within the coupled response-degradation model. The fatigue process in the system components is quantified by the fatigue crack growth equations which - via the stress range - are coupled with the system response. Simultaneously, the system dynamics are affected by the fatigue process through its stiffness degradation, so that it provides the actual stress values to the fatigue crack growth equation. In addition to the general coupled response-degradation analysis, its special case of non-coupled fatigue crack growth is treated as well, for the wide-band stationary applied stress by the use of its first four spectral moments and the approximate, empirically motivated, Dirlik’s probability distribution for the stress range. The proposed methodology is applied on multi degree of freedom spring mass chain like structure and the results for the different approaches are compared. Both, the general analysis and the illustrating examples elaborated provide the route to the fatigue reliability estimation in complex-hierarchical vibratory systems under random loading. Finally, the proposed methodologies for optimal design and fatigue lifetime prediction for structure subjected to stochastic dynamic excitations are combined, in order to form an innovative framework for design optimization of structures based on fatigue lifetime related performance function. In particular, the performance function for the optimization problem is defined as the weighted sum of the fatigue lifetimes of the structural parts.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή επικεντρώνεται στο βέλτιστο σχεδιασμό κατασκευών υπό την επιρροή στοχαστικών δυναμικών φορτίων, με εφαρμογές στη βελτιστοποίηση της τοπολογίας δικτυωμάτων και των διαστάσεων των διατομών των μελών. Επιπλέον, μελετάται η πρόβλεψη της διάρκειας ζωής κατασκευών σε κόπωση υπό στοχαστικές δυναμικές διεγέρσεις. Τέλος, η μεθοδολογία βέλτιστου σχεδιασμού κατασκευών επεκτείνεται για να ενσωματώσει συναρτήσεις απόδοσης που σχετίζονται με τη μέγιστη διάρκεια ζωής κατασκευών σε κόπωση, υποβαλλόμενων σε στοχαστικές δυναμικές φορτίσεις. Συγκεκριμένα, προτείνεται μια καινοτόμα μεθοδολογία για τη βελτιστοποίηση κατασκευών που υποβάλλονται σε στοχαστικές δυναμικές διεγέρσεις. Η αντικειμενική συνάρτηση σχετιζόμενη με την απόδοση της κατασκευής επιλέγεται ως ένα σταθμισμένο άθροισμα της μεταβλητότητας της απόκρισης. Σαν αποκρίσεις θεωρούνται οι μετατοπίσεις των κόμβων του συστήματος, οι τάσεις και οι παραμορφώσεις που αναπτύσσονται στο δομικά στοιχεία. Οι διεγέρσεις μοντελοποιούνται σαν λευκός θόρυβος ή σαν φιλτραρισμένος λευκός θόρυβος. Η μεταβλητότητα των αποκρίσεων υπολογίζεται πολύ αποτελεσματικά μέσω της επίλυσης της εξίσωσης Lyapunov για το σύστημα. Η μέθοδος adjoint αναπτύσσεται για τον αναλυτικό υπολογισμό των παραγώγων της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς τις παραμέτρους σχεδιασμού. Αυτό αυξάνει την υπολογιστική αποτελεσματικότητα της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Αποδεικνύεται ότι η απαιτούμενη υπολογιστική ισχύς για την εκτίμηση των παραγώγων της αντικειμενικής συνάρτησης είναι ανεξάρτητη από τον αριθμό των σχεδιαστικών παραμέτρων. Επιπλέον, η προτεινόμενη μεθοδολογία επεκτείνεται ώστε να διαχειρίζεται τον υπολογισμό της απόκρισης των κατασκευών στον χώρο των ιδιομορφικών συντεταγμένων. Έτσι αξιοποιούνται τα οφέλη από τη χρήση περιορισμένου αριθμού ιδιομορφών για την εκτίμηση της απόκρισης του συστήματος. Η προτεινόμενη μεθοδολογία για την βελτιστοποίηση του σχεδιασμού δυναμικών συστημάτων εφαρμόζεται στη βελτιστοποίηση της τοπολογίας δικτυωμάτων και των διαστάσεων των διατομών των μελών χρησιμοποιείται για την επίδειξη των θεωρητικών μελετών. Συγκεκριμένα μια ειδική κατηγορία διδιάστατων δικτυωμάτων, υποβαλλόμενων σε Γκαουσσιανό λευκό θόρυβο. Χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους συναρτήσεων απόδοσης, όπως είναι το σταθμισμένο άθροισμα των μετατοπίσεων στους κόμβους και το σταθμισμένο άθροισμα των τάσεων που αναπτύσσονται στα στοιχεία, οι κατασκευή βελτιστοποιείται σε μέγεθος και τοπολογικά προκειμένου να βρεθεί η βέλτιστη διάταξη, ώστε να βελτιστοποιείται η συνάρτηση απόδοσης. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με διαθέσιμα αποτελέσματα βελτιστοποίησης του σχεδιασμού των δικτυωμάτων υποβαλλόμενων σε ντετερμινιστικά στατικά φορτία. Η ιδιομορφική ανάλυση επίσης εφαρμόζεται στη βελτιστοποίηση της ειδικής κατηγορίας δικτυωμάτων, προκειμένου να διερευνηθεί η επίδραση της χρήσης περιορισμένου αριθμού ιδιομορφών που συνεισφέρουν στην εκτίμηση της απόκρισης του συστήματος και τέλος διερευνάται η επιρροή στον βέλτιστο σχεδιασμό. Προτείνεται επίσης μια μεθοδολογία για την εκτίμηση της διάρκειας ζωής κατασκευών πολλών βαθμών ελευθερίας σε κόπωση, υπό στοχαστικές δυναμικές διεγέρσεις, λαμβάνοντας υπόψιν την σχέση απόκρισης - υποβάθμισης των κατασκευών. Η διαδικασία της κόπωσης στα κατασκευαστικά μέρη ποσοτικοποιείται μέσω των εξισώσεων ανάπτυξης των ρωγμών οι οποίες - μέσω του φάσματος των τάσεων - είναι συζευγμένες με την απόκριση του συστήματος. Ταυτόχρονα, η δυναμική του συστήματος επηρεάζεται από την διαδικασία της κόπωσης, μέσω της υποβάθμισης της ακαμψίας του, ώστε να παρέχονται οι πραγματικές τιμές των τάσεων στην εξίσωση ανάπτυξης της ρωγμής. Επιπρόσθετα με τη συζευγμένη γενική ανάλυση απόκρισης-υποβάθμισης, η ειδική περίπτωση της μη συζευγμένης ανάπτυξης ρωγμής αντιμετωπίζεται επίσης, για στάσιμες, ευρέως φάσματος τάσεις, με τη χρήση των πρώτων τεσσάρων φασματικών ροπών, και της προσεγγιστικής, εμπειρικής κατανομής πιθανοτήτων του Dirlik για το εύρος των τάσεων. Η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόζεται σε συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας και τα αποτελέσματα για τις διαφορετικές προσεγγίσεις συγκρίνονται μεταξύ τους.