Stochastic linear quadratic control problems with applications to insurance

Abstract

Τhis thesis aims to extend further the modelling and decision-making (control) methodstechniques for the deeper investigation of several important actuarial (practical) problems. The major drive in this task is the application of stochastic linear-quadratic control methodologies into several actuarial processes. In more details, a significant contribution of this PhD thesis is the further understanding of the role of (stochastic) control theory in the specification of conceptual actuarial models and subsequently the transition towards the development of more formal dynamic models. A quite general discrete and continuous-time (stochastic) control framework, suitable for discussing a number of important issues arising in the analysis and the design of actuarial processes, is introduced. It will be described as a mean of integrating diverse areas where mainly linear system concepts are used. A general approach towards the definition of linear stochastic systems will also be given. Analytically, a) A discrete-time stochastic control multi-dimensional model for a quasi PAYGO social security system is introduced to allow the potential accumulation of a special (contingency) fund, which can oscillate deliberately absorbing fluctuations in the different system parameters involved. b) A more realistic approach for the management of a defined contribution pension scheme is proposed in the distribution phase (post-retirement period) providing a whole life assurance benefit. In that direction, it is assumed a stochastic framework for both mortality and investment risk and additionally suggested a correlation effect between the two separate risks. c) A stochastic control model is introduced for a pension fund which provides a variable death benefit to its members during the post-retirement period. The main framework model is described by two correlated fractional Brownian motions which correspond to investment and mortality risks, accordingly. d) The classical problem of premium rating within a heterogeneous portfolio of risks is investigated by using a continuous stochastic framework. The portfolio is divided into several classes where each class interacts with other. The risks are modelled dynamically by the means of a standard Brownian motion. This dynamic approach is also transferred to the design of the premium process. e) Finally, in the last work, the various claim reserving methods are discussed for non-life insurance systems. Furthermore, a dynamic control model with the associated stochastic differential equations is analytically designed describing the mechanisms of the payments and the reserving process, as well.

Αυτή η διδακτορική διατριβή προσπαθεί να προεκτείνει τις μεθόδους μοντελοποίησης και τις δια- δικασίες λήψης αποφάσεων για τη βαθύτερη μελέτη αρκετών σημαντικών αναλογιστικών (πρακτικών) προβλημάτων. Μια ουσιαστική κατεύθυνσή της είναι η εφαρμογή της στοχαστικής γραμμικής τετραγωνικής μεθοδολογία της θεωρίας ελέγχου σε αρκετές αναλογιστικές διαδικασίες. Λεπτομερέστερα, η σημαντικότερη συνεισφορά αυτής της διδακτορικής διατριβής έχει να κάνει με την καλύτερη κατανόηση του ρόλου της (στοχαστικής) θεωρίας ελέγχου στον καθορισμό του εννοιολογικού πλαισίου των αναλογιστικών μοντέλων και κατ’ επέκταση τη μετάβαση προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης δυναμικών μοντέλων. Επιπλέον εισάγεται ένα αρκετά γενικό, διακριτού και συνεχούς χρόνου, (στοχαστικό) πλαίσιο της θεωρίας ελέγχου, κατάλληλου για την ανάπτυξη και ανάλυση ενός ικανού αριθμού αναλογιστικών μοντέλων. Αυτό το πλαίσιο αναπτύσσεται με τη χρήση ετερόκλιτων ερευνητικών εργαλείων, αλλά κυρίως με τη χρήση εννοιών από τα γραμμικά συστήματα. Τέλος παρέχεται μία γενική προσέγγιση των ορισμών και των εννοιών των γραμμικών στοχαστικών συστημάτων. Αναλυτικότερα, α) Ένα διακριτού χρόνου, στοχαστικό πολυδιάστατο μοντέλο ελέγχου για ένα οιωνοί αναδιανεμητικό (Payas- you-go) συνταξιοδοτικό κοινωνικό σύστημα κατασκευάζεται στο οποίο παρέχεται η δυνατότητα για συσ- σώρευση κεφαλαίων. Το συσσωρευμένο κεφάλαιο συμπεριφέρεται ως αντισταθμιστικός και ισορροπητικός παράγοντας, αφού απορροφά ελεύθερα τις διαταραχές που εμφανίζονται στις παραμέτρους του μοντέλου. β) Ένα ρεαλιστικό μοντέλο για την ενεργή διαχείριση αποθέματος, καθορισμένης εισφοράς συνταξιοδοτικού σχήματος προτείνεται για τη περίοδο μετά την κατοχύρωση του συνταξιοδοτικού δικαιώματος. Η εργασία αναπτύσσεται σε στοχαστικό πλαίσιο, τόσο για τον κίνδυνο των επενδύσεων όσο και για τη θνησιμότητα, ενώ επιπλέον δέχεται την ύπαρξη κάποιου είδους συσχέτισης μεταξύ των δύο διαφορετικών κινδύνων. γ) Επιπλέον αναπτύσσεται ένα στοχαστικό μοντέλο ελέγχου για ένα συνταξιοδοτικό κεφάλαιο που παρέχει παροχή σύνταξης για περίοδο μετά την κατοχύρωση του συνταξιοδοτικού δικαιώματος. Το στοχαστικό πλαίσιο χαρακτηρίζεται με τη ύπαρξη δύο