ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΤΟΜΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΟΥ FERMAT

Abstract

IN THIS THESIS CRITERIA ARE OBTAINED FOR THE NON-SOLVABILITY OF FERMAT'S CONGRUENCE AND EQUATION. THESE CRITERIA EXTEND ANALOGOUS RESULTS OF VANDIVER IN THIS AREA, AND, FOR SUFFICIENTLY LARGE EXPONENTS, A CORRESPONDING CRITERION OF KRASNER. THE MAIN CONCLUSIONS OF THIS WORK ARE THE FOLLOWING FOUR THEOREMS: THEOREM 1. LET P,Q BE ODD PRIMES, P>3. THEN XP+ΨP+ZP=0S(MODP),PXXYZ, H SOLUTIONS IN INTEGERS, PROVIDED THAT THERE EXISTS A PRIME P, P=1+CP, EXC,P>2Φ(C). (SHORTENED)

ΣΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΑ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΝΤΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΗ- ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ FERMAT. ΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΥΤΑ ΕΠΕΚΤΕΙΝΟΥΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΟΥ VANDIVER ΣΤΟΝ ΤΟΜΕΑ ΑΥΤΟ, ΕΝΩ, ΓΙΑ ΕΠΑΡΚΩΣ ΜΕΓΑΛΟΥΣ ΕΚΘΕΤΕΣ ΕΠΕΚΤΕΙΝΟΥΝ ΕΝΑ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΥ KRASNER. ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΥΤΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΕΠΟΜΕΝΑ ΤΕΣΣΕΡΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ 1. ΕΣΤΩ ΣΑΝ Ρ,2 ΠΕΡΙΤΤΟΙ ΠΡΩΤΟΙ, Ρ>3. ΤΟΤΕ Η ΧΡ+ΨΡ+2Ρ=0(MOD2), 2XXYZ (1) ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΑΚΕΡΑΙΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΟΤΑΝ ΙΣΧΥΕΙ2=1+CP,3XC, 2>2Φ(C). ΘΕΩΡΗΜΑ 2. ΕΣΤΩ 2 ΠΕΡΙΤΤΟΣ ΠΡΩΤΟΣ. ΤΟΤΕ Η ΧΡ+ΨΡ+2Ρ=0,2ΧΧΥΖ (2) ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΑΚΕΡΑΙΕΣ ΛΥΣΕΙΣ, ΟΤΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΠΡΩΤΟΣ 2, ΜΕ 2=1+3ΧC, 2>2Φ(C). (ΠΕΡΙΚΟΠΗ).