Two instability results in general relativity

Abstract

A fundamental question arising in the study of the Einstein equations in general relativity is that of global stability of solutions under perturbations of their initial state. In this thesis, we will establish two results pertinent to instability phenomena for the Einstein equations, associated to the presence of two distinct geometric structures on the underlying spacetimes. In the first part of the thesis, we will focus on the class of stationary and asymptotically flat spacetimes; such spacetimes arise naturally as models of the final state of the evolution of isolated self-gravitating systems in the universe. Our first main result in this setting will be a general instability statement for solutions to the scalar wave equation (a simple linear toy model for the non-linear Einstein equations) on spacetimes possessing a non-empty ergoregion but no event horizon. This statement was conjectured and heuristically supported by Friedman in 1978. As a corollary of this result, we will also obtain an instability statement for the acoustical wave equation on the hydrodynamic vortex, a phenomenon first studied numerically by Oliveira-Cardoso-Crispino. In the second part of the thesis, we will turn our attention to the class of asymptotically anti-de Sitter spacetimes. These spacetimes arise as solutions of the Einstein equations with a negative cosmological constant and have a prominent role in the high energy physics literature. In this setting, it was conjectured by Dafermos-Holzegel in 2006 that anti-de Sitter spacetime is unstable as a solution of the vacuum Einstein equations when reflecting boundary conditions are imposed on conformal infinity. The second main result of this thesis will be a proof of the instability of AdS for the Einstein-null dust system.

Ένα θεμελιώδες ερώτημα που προκύπτει κατά τη μελέτη των εξισώσεων πεδίου του Einstein στη γενική σχετικότητα είναι αυτό της ευστάθειας των λύσεων κάτω από διαταραχές των αρχικών τους συνθηκών. Σε αυτή τη διατριβή, θα αποδείξουμε δύο αποτελέσματα σχετιζόμενα με φαινόμενα αστάθειας των εξισώσεων Einstein σε χωροχρόνους που ανήκουν σε δυο διακριτές γεωμετρικές κατηγορίες. Το πρώτο μέρος της διατριβής αφορά την κατηγορία των χρονικά αναλλοίωτων και ασυμπτωτικά επίπεδων χωροχρόνων· τέτοιοι χωροχρόνοι μοντελοποιούν την τελική κατάσταση της εξέλιξης απομονωμένων βαρυτικών συστημάτων. Το πρώτο αποτέλεσμα αυτής της διατριβής αποτελεί ένα θεώρημα αστάθειας για τις λύσεις της γραμμικής κυματοεξίσωσης (την οποία μπορεί να δει κανείς ως ένα απλοποιημένο γραμμικό μοντέλο των μη γραμμικών εξισώσεων Einstein) σε χωροχρόνους που διαθέτουν (μη κενή) εργοπεριοχή αλλά δεν έχουν ορίζοντα γεγονότων. Το αποτέλεσμα αυτό είχε διατυπωθεί ως εικασία από τον Friedman το 1978. Ως πόρισμα του θεωρήματος αυτού, αποδεικνύουμε ένα αποτέλεσμα αστάθειας για την εξέλιξη στον χρόνο ακουστικών διαταραχών του υδροδυναμικού στροβίλου, ένα φαινόμενο που μελετήθηκε για πρώτη φορά αριθμητικά από τους Oliveira-Cardoso-Crispino. Το δεύτερο μέρος της διατριβής αφορά την κατηγορία των ασυμπτωτικά anti-de Sitter χωροχρόνων. Οι χωροχρόνοι αυτοί προκύπτουν ως λύσεις των εξισώσεων Einstein με αρνητική κοσμολογική σταθερά και απαντώνται συχνά στη βιβλιογραφία της φυσικής υψηλών ενεργειών. Το 2006, οι Dafermos-Holzegel διατύπωσαν την εικασία ότι ο χωροχρόνος anti-de Sitter είναι ασταθής ως λύση των εξισώσεων Einstein στο κενό όταν επιβάλλονται ανακλαστικές συνοριακές συνθήκες στο άπειρο. Το δεύτερο αποτέλεσμα αυτής της διατριβής είναι η απόδειξη της αστάθειας του χωροχρόνου AdS για το σύστημα Einstein-null dust.